Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63019 / 38893
↖ ↑ ↗
← N 58.840754°
W  6.913147°		 ← 158.03 m → N 58.840754°
W  6.910400°		 →
↑
158.06 m
↓
↑
158.06 m
↓
N 58.839332°
W  6.913147°		 ← 158.04 m →
24 980 m²		 N 58.839332°
W  6.910400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480800628662109 y=0.296733856201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480800628662109 × 217)
    floor (0.480800628662109 × 131072)
    floor (63019.5)     		tx = 63019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296733856201172 × 217)
    floor (0.296733856201172 × 131072)
    floor (38893.5)     		ty = 38893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63019 / 38893 ti = "17/63019/38893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63019/38893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63019 ÷ 217
    63019 ÷ 131072     		x = 0.480796813964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38893 ÷ 217
    38893 ÷ 131072     		y = 0.296730041503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480796813964844 × 2 - 1) × π
    -0.0384063720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12065718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296730041503906 × 2 - 1) × π
    0.406539916992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.27718281657716
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12065718} λ = -0.12065718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27718281657716))-π/2
    2×atan(3.58652159076918)-π/2
    2×1.29888060706114-π/2
    2.59776121412228-1.57079632675     		φ = 1.02696489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12065718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.913147°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02696489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.840754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63019 KachelY 38893 -0.12065718 1.02696489 -6.913147 58.840754
    Oben rechts KachelX + 1 63020 KachelY 38893 -0.12060924 1.02696489 -6.910400 58.840754
    Unten links KachelX 63019 KachelY + 1 38894 -0.12065718 1.02694008 -6.913147 58.839332
    Unten rechts KachelX + 1 63020 KachelY + 1 38894 -0.12060924 1.02694008 -6.910400 58.839332
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02696489-1.02694008) × R
    2.48099999999862e-05 × 6371000     		dl = 158.064509999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02696489-1.02694008) × R
    2.48099999999862e-05 × 6371000     		dr = 158.064509999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12065718--0.12060924) × cos(1.02696489) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.517418466483985 × 6371000     		do = 158.032918015524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12065718--0.12060924) × cos(1.02694008) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.517439697048338 × 6371000     		du = 158.039402376352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02696489)-sin(1.02694008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517418466483985-0.517439697048338)×R²
    abs(-0.12060924--0.12065718)×2.1230564353214e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.1230564353214e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.1230564353214e-05×40589641000000     		ar = 24979.9082249269m²