Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63019 / 27179
↖ ↑ ↗
← N 71.928788°
W  6.913147°		 ← 94.74 m → N 71.928788°
W  6.910400°		 →
↑
94.74 m
↓
↑
94.74 m
↓
N 71.927936°
W  6.913147°		 ← 94.75 m →
8 976 m²		 N 71.927936°
W  6.910400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480800628662109 y=0.207363128662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480800628662109 × 217)
    floor (0.480800628662109 × 131072)
    floor (63019.5)     		tx = 63019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207363128662109 × 217)
    floor (0.207363128662109 × 131072)
    floor (27179.5)     		ty = 27179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63019 / 27179 ti = "17/63019/27179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63019/27179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63019 ÷ 217
    63019 ÷ 131072     		x = 0.480796813964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27179 ÷ 217
    27179 ÷ 131072     		y = 0.207359313964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480796813964844 × 2 - 1) × π
    -0.0384063720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12065718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207359313964844 × 2 - 1) × π
    0.585281372070312 × 3.1415926535     		Φ = 1.83871565872649
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12065718} λ = -0.12065718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83871565872649))-π/2
    2×atan(6.28845654800753)-π/2
    2×1.41309525353231-π/2
    2.82619050706462-1.57079632675     		φ = 1.25539418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12065718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.913147°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25539418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.928788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63019 KachelY 27179 -0.12065718 1.25539418 -6.913147 71.928788
    Oben rechts KachelX + 1 63020 KachelY 27179 -0.12060924 1.25539418 -6.910400 71.928788
    Unten links KachelX 63019 KachelY + 1 27180 -0.12065718 1.25537931 -6.913147 71.927936
    Unten rechts KachelX + 1 63020 KachelY + 1 27180 -0.12060924 1.25537931 -6.910400 71.927936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25539418-1.25537931) × R
    1.48700000000002e-05 × 6371000     		dl = 94.736770000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25539418-1.25537931) × R
    1.48700000000002e-05 × 6371000     		dr = 94.736770000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12065718--0.12060924) × cos(1.25539418) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.3101988058816 × 6371000     		do = 94.7426998334968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12065718--0.12060924) × cos(1.25537931) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.310212942335637 × 6371000     		du = 94.7470174704321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25539418)-sin(1.25537931))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3101988058816-0.310212942335637)×R²
    abs(-0.12060924--0.12065718)×1.41364540370836e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.41364540370836e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.41364540370836e-05×40589641000000     		ar = 8975.82188301833m²