Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63018 / 27178
↖ ↑ ↗
← N 71.929640°
W  6.915893°		 ← 94.72 m → N 71.929640°
W  6.913147°		 →
↑
94.74 m
↓
↑
94.74 m
↓
N 71.928788°
W  6.915893°		 ← 94.72 m →
8 974 m²		 N 71.928788°
W  6.913147°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480792999267578 y=0.207355499267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480792999267578 × 217)
    floor (0.480792999267578 × 131072)
    floor (63018.5)     		tx = 63018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207355499267578 × 217)
    floor (0.207355499267578 × 131072)
    floor (27178.5)     		ty = 27178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63018 / 27178 ti = "17/63018/27178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63018/27178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63018 ÷ 217
    63018 ÷ 131072     		x = 0.480789184570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27178 ÷ 217
    27178 ÷ 131072     		y = 0.207351684570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480789184570312 × 2 - 1) × π
    -0.038421630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12070511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207351684570312 × 2 - 1) × π
    0.585296630859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.83876359562611
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12070511} λ = -0.12070511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83876359562611))-π/2
    2×atan(6.28875800434322)-π/2
    2×1.4131026883474-π/2
    2.8262053766948-1.57079632675     		φ = 1.25540905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12070511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.915893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25540905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.929640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63018 KachelY 27178 -0.12070511 1.25540905 -6.915893 71.929640
    Oben rechts KachelX + 1 63019 KachelY 27178 -0.12065718 1.25540905 -6.913147 71.929640
    Unten links KachelX 63018 KachelY + 1 27179 -0.12070511 1.25539418 -6.915893 71.928788
    Unten rechts KachelX + 1 63019 KachelY + 1 27179 -0.12065718 1.25539418 -6.913147 71.928788
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25540905-1.25539418) × R
    1.48700000000002e-05 × 6371000     		dl = 94.736770000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25540905-1.25539418) × R
    1.48700000000002e-05 × 6371000     		dr = 94.736770000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12070511--0.12065718) × cos(1.25540905) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.310184669358973 × 6371000     		do = 94.7186203103379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12070511--0.12065718) × cos(1.25539418) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.3101988058816 × 6371000     		du = 94.7229370675845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25540905)-sin(1.25539418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.310184669358973-0.3101988058816)×R²
    abs(-0.12065718--0.12070511)×1.41365226272172e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.41365226272172e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.41365226272172e-05×40589641000000     		ar = 8973.54062501218m²