Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63016 / 29235
↖ ↑ ↗
← N 70.092724°
W  6.921387°		 ← 104 m → N 70.092724°
W  6.918640°		 →
↑
104.04 m
↓
↑
104.04 m
↓
N 70.091788°
W  6.921387°		 ← 104 m →
10 820 m²		 N 70.091788°
W  6.918640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480777740478516 y=0.223049163818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480777740478516 × 217)
    floor (0.480777740478516 × 131072)
    floor (63016.5)     		tx = 63016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223049163818359 × 217)
    floor (0.223049163818359 × 131072)
    floor (29235.5)     		ty = 29235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63016 / 29235 ti = "17/63016/29235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63016/29235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63016 ÷ 217
    63016 ÷ 131072     		x = 0.48077392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29235 ÷ 217
    29235 ÷ 131072     		y = 0.223045349121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48077392578125 × 2 - 1) × π
    -0.0384521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12080099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223045349121094 × 2 - 1) × π
    0.553909301757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.74015739310766
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12080099} λ = -0.12080099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74015739310766))-π/2
    2×atan(5.69824021583136)-π/2
    2×1.39707256615391-π/2
    2.79414513230782-1.57079632675     		φ = 1.22334881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12080099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.921387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22334881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.092724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63016 KachelY 29235 -0.12080099 1.22334881 -6.921387 70.092724
    Oben rechts KachelX + 1 63017 KachelY 29235 -0.12075305 1.22334881 -6.918640 70.092724
    Unten links KachelX 63016 KachelY + 1 29236 -0.12080099 1.22333248 -6.921387 70.091788
    Unten rechts KachelX + 1 63017 KachelY + 1 29236 -0.12075305 1.22333248 -6.918640 70.091788
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22334881-1.22333248) × R
    1.63300000000088e-05 × 6371000     		dl = 104.038430000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22334881-1.22333248) × R
    1.63300000000088e-05 × 6371000     		dr = 104.038430000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12080099--0.12075305) × cos(1.22334881) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.340498959967946 × 6371000     		do = 103.997146817432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12080099--0.12075305) × cos(1.22333248) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.340514314121643 × 6371000     		du = 104.001836371187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22334881)-sin(1.22333248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340498959967946-0.340514314121643)×R²
    abs(-0.12075305--0.12080099)×1.5354153696967e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.5354153696967e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.5354153696967e-05×40589641000000     		ar = 10819.9438265213m²