Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63015 / 38939
↖ ↑ ↗
← N 58.775320°
W  6.924133°		 ← 158.30 m → N 58.775320°
W  6.921387°		 →
↑
158.32 m
↓
↑
158.32 m
↓
N 58.773896°
W  6.924133°		 ← 158.30 m →
25 062 m²		 N 58.773896°
W  6.921387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480770111083984 y=0.297084808349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480770111083984 × 217)
    floor (0.480770111083984 × 131072)
    floor (63015.5)     		tx = 63015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297084808349609 × 217)
    floor (0.297084808349609 × 131072)
    floor (38939.5)     		ty = 38939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63015 / 38939 ti = "17/63015/38939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63015/38939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63015 ÷ 217
    63015 ÷ 131072     		x = 0.480766296386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38939 ÷ 217
    38939 ÷ 131072     		y = 0.297080993652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480766296386719 × 2 - 1) × π
    -0.0384674072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12084892
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297080993652344 × 2 - 1) × π
    0.405838012695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.27497771919463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12084892} λ = -0.12084892}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27497771919463))-π/2
    2×atan(3.57862167464028)-π/2
    2×1.29830958955148-π/2
    2.59661917910297-1.57079632675     		φ = 1.02582285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12084892} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.924133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02582285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.775320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63015 KachelY 38939 -0.12084892 1.02582285 -6.924133 58.775320
    Oben rechts KachelX + 1 63016 KachelY 38939 -0.12080099 1.02582285 -6.921387 58.775320
    Unten links KachelX 63015 KachelY + 1 38940 -0.12084892 1.02579800 -6.924133 58.773896
    Unten rechts KachelX + 1 63016 KachelY + 1 38940 -0.12080099 1.02579800 -6.921387 58.773896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02582285-1.02579800) × R
    2.48499999999652e-05 × 6371000     		dl = 158.319349999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02582285-1.02579800) × R
    2.48499999999652e-05 × 6371000     		dr = 158.319349999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12084892--0.12080099) × cos(1.02582285) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.518395409605648 × 6371000     		do = 158.298274619867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12084892--0.12080099) × cos(1.02579800) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.518416659700444 × 6371000     		du = 158.304763591952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02582285)-sin(1.02579800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.518395409605648-0.518416659700444)×R²
    abs(-0.12080099--0.12084892)×2.12500947960326e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.12500947960326e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.12500947960326e-05×40589641000000     		ar = 25062.1936101223m²