Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63014 / 38938
↖ ↑ ↗
← N 58.776744°
W  6.926880°		 ← 158.32 m → N 58.776744°
W  6.924133°		 →
↑
158.32 m
↓
↑
158.32 m
↓
N 58.775320°
W  6.926880°		 ← 158.33 m →
25 066 m²		 N 58.775320°
W  6.924133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480762481689453 y=0.297077178955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480762481689453 × 217)
    floor (0.480762481689453 × 131072)
    floor (63014.5)     		tx = 63014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297077178955078 × 217)
    floor (0.297077178955078 × 131072)
    floor (38938.5)     		ty = 38938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63014 / 38938 ti = "17/63014/38938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63014/38938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63014 ÷ 217
    63014 ÷ 131072     		x = 0.480758666992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38938 ÷ 217
    38938 ÷ 131072     		y = 0.297073364257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480758666992188 × 2 - 1) × π
    -0.038482666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12089686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297073364257812 × 2 - 1) × π
    0.405853271484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.27502565609425
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12089686} λ = -0.12089686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27502565609425))-π/2
    2×atan(3.57879322678009)-π/2
    2×1.29832201443112-π/2
    2.59664402886225-1.57079632675     		φ = 1.02584770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12089686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.926880°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02584770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.776744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63014 KachelY 38938 -0.12089686 1.02584770 -6.926880 58.776744
    Oben rechts KachelX + 1 63015 KachelY 38938 -0.12084892 1.02584770 -6.924133 58.776744
    Unten links KachelX 63014 KachelY + 1 38939 -0.12089686 1.02582285 -6.926880 58.775320
    Unten rechts KachelX + 1 63015 KachelY + 1 38939 -0.12084892 1.02582285 -6.924133 58.775320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02584770-1.02582285) × R
    2.48499999999652e-05 × 6371000     		dl = 158.319349999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02584770-1.02582285) × R
    2.48499999999652e-05 × 6371000     		dr = 158.319349999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12089686--0.12084892) × cos(1.02584770) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.518374159190731 × 6371000     		do = 158.324811167695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12089686--0.12084892) × cos(1.02582285) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.518395409605648 × 6371000     		du = 158.331301591396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02584770)-sin(1.02582285))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.518374159190731-0.518395409605648)×R²
    abs(-0.12084892--0.12089686)×2.12504149168513e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.12504149168513e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.12504149168513e-05×40589641000000     		ar = 25066.3949740787m²