Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63013 / 39641
↖ ↑ ↗
← N 57.761334°
W  6.929627°		 ← 162.93 m → N 57.761334°
W  6.926880°		 →
↑
162.91 m
↓
↑
162.91 m
↓
N 57.759868°
W  6.929627°		 ← 162.94 m →
26 543 m²		 N 57.759868°
W  6.926880°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480754852294922 y=0.302440643310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480754852294922 × 217)
    floor (0.480754852294922 × 131072)
    floor (63013.5)     		tx = 63013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302440643310547 × 217)
    floor (0.302440643310547 × 131072)
    floor (39641.5)     		ty = 39641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63013 / 39641 ti = "17/63013/39641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63013/39641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63013 ÷ 217
    63013 ÷ 131072     		x = 0.480751037597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39641 ÷ 217
    39641 ÷ 131072     		y = 0.302436828613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480751037597656 × 2 - 1) × π
    -0.0384979248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12094480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302436828613281 × 2 - 1) × π
    0.395126342773438 × 3.1415926535     		Φ = 1.24132601566135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12094480} λ = -0.12094480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24132601566135))-π/2
    2×atan(3.46019870171268)-π/2
    2×1.28946088863132-π/2
    2.57892177726265-1.57079632675     		φ = 1.00812545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12094480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.929627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00812545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.761334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63013 KachelY 39641 -0.12094480 1.00812545 -6.929627 57.761334
    Oben rechts KachelX + 1 63014 KachelY 39641 -0.12089686 1.00812545 -6.926880 57.761334
    Unten links KachelX 63013 KachelY + 1 39642 -0.12094480 1.00809988 -6.929627 57.759868
    Unten rechts KachelX + 1 63014 KachelY + 1 39642 -0.12089686 1.00809988 -6.926880 57.759868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00812545-1.00809988) × R
    2.55700000000303e-05 × 6371000     		dl = 162.906470000193m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00812545-1.00809988) × R
    2.55700000000303e-05 × 6371000     		dr = 162.906470000193m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12094480--0.12089686) × cos(1.00812545) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.53344721461655 × 6371000     		do = 162.928510275233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12094480--0.12089686) × cos(1.00809988) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.533468842401116 × 6371000     		du = 162.935115957339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00812545)-sin(1.00809988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.53344721461655-0.533468842401116)×R²
    abs(-0.12089686--0.12094480)×2.16277845668245e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.16277845668245e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.16277845668245e-05×40589641000000     		ar = 26542.6465270084m²