Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63013 / 38935
↖ ↑ ↗
← N 58.781015°
W  6.929627°		 ← 158.31 m → N 58.781015°
W  6.926880°		 →
↑
158.32 m
↓
↑
158.32 m
↓
N 58.779591°
W  6.929627°		 ← 158.31 m →
25 063 m²		 N 58.779591°
W  6.926880°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480754852294922 y=0.297054290771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480754852294922 × 217)
    floor (0.480754852294922 × 131072)
    floor (63013.5)     		tx = 63013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297054290771484 × 217)
    floor (0.297054290771484 × 131072)
    floor (38935.5)     		ty = 38935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63013 / 38935 ti = "17/63013/38935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63013/38935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63013 ÷ 217
    63013 ÷ 131072     		x = 0.480751037597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38935 ÷ 217
    38935 ÷ 131072     		y = 0.297050476074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480751037597656 × 2 - 1) × π
    -0.0384979248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12094480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297050476074219 × 2 - 1) × π
    0.405899047851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.27516946679311
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12094480} λ = -0.12094480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27516946679311))-π/2
    2×atan(3.57930793254432)-π/2
    2×1.29835928601413-π/2
    2.59671857202827-1.57079632675     		φ = 1.02592225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12094480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.929627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02592225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.781015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63013 KachelY 38935 -0.12094480 1.02592225 -6.929627 58.781015
    Oben rechts KachelX + 1 63014 KachelY 38935 -0.12089686 1.02592225 -6.926880 58.781015
    Unten links KachelX 63013 KachelY + 1 38936 -0.12094480 1.02589740 -6.929627 58.779591
    Unten rechts KachelX + 1 63014 KachelY + 1 38936 -0.12089686 1.02589740 -6.926880 58.779591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02592225-1.02589740) × R
    2.48499999999652e-05 × 6371000     		dl = 158.319349999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02592225-1.02589740) × R
    2.48499999999652e-05 × 6371000     		dr = 158.319349999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12094480--0.12089686) × cos(1.02592225) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.518310406025387 × 6371000     		do = 158.305339310038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12094480--0.12089686) × cos(1.02589740) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.518331657400588 × 6371000     		du = 158.311830027035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02592225)-sin(1.02589740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.518310406025387-0.518331657400588)×R²
    abs(-0.12089686--0.12094480)×2.12513752005927e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.12513752005927e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.12513752005927e-05×40589641000000     		ar = 25063.3122253393m²