Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63010 / 28390
↖ ↑ ↗
← N 70.868091°
W  6.937866°		 ← 100.10 m → N 70.868091°
W  6.935120°		 →
↑
100.09 m
↓
↑
100.09 m
↓
N 70.867191°
W  6.937866°		 ← 100.11 m →
10 019 m²		 N 70.867191°
W  6.935120°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480731964111328 y=0.216602325439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480731964111328 × 217)
    floor (0.480731964111328 × 131072)
    floor (63010.5)     		tx = 63010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216602325439453 × 217)
    floor (0.216602325439453 × 131072)
    floor (28390.5)     		ty = 28390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63010 / 28390 ti = "17/63010/28390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63010/28390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63010 ÷ 217
    63010 ÷ 131072     		x = 0.480728149414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28390 ÷ 217
    28390 ÷ 131072     		y = 0.216598510742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480728149414062 × 2 - 1) × π
    -0.038543701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12108861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216598510742188 × 2 - 1) × π
    0.566802978515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.78066407328661
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12108861} λ = -0.12108861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78066407328661))-π/2
    2×atan(5.93379558563518)-π/2
    2×1.40383892463584-π/2
    2.80767784927168-1.57079632675     		φ = 1.23688152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12108861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.937866°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23688152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.868091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63010 KachelY 28390 -0.12108861 1.23688152 -6.937866 70.868091
    Oben rechts KachelX + 1 63011 KachelY 28390 -0.12104067 1.23688152 -6.935120 70.868091
    Unten links KachelX 63010 KachelY + 1 28391 -0.12108861 1.23686581 -6.937866 70.867191
    Unten rechts KachelX + 1 63011 KachelY + 1 28391 -0.12104067 1.23686581 -6.935120 70.867191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23688152-1.23686581) × R
    1.57100000000021e-05 × 6371000     		dl = 100.088410000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23688152-1.23686581) × R
    1.57100000000021e-05 × 6371000     		dr = 100.088410000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12108861--0.12104067) × cos(1.23688152) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.327744108837666 × 6371000     		do = 100.101486972377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12108861--0.12104067) × cos(1.23686581) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.327758951079431 × 6371000     		du = 100.106020175051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23688152)-sin(1.23686581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327744108837666-0.327758951079431)×R²
    abs(-0.12104067--0.12108861)×1.48422417656224e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.48422417656224e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.48422417656224e-05×40589641000000     		ar = 10019.2255305328m²