Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63009 / 77741
↖ ↑ ↗
← S 31.758531°
W  6.940613°		 ← 259.70 m → S 31.758531°
W  6.937866°		 →
↑
259.68 m
↓
↑
259.68 m
↓
S 31.760867°
W  6.940613°		 ← 259.69 m →
67 437 m²		 S 31.760867°
W  6.937866°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480724334716797 y=0.593120574951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480724334716797 × 217)
    floor (0.480724334716797 × 131072)
    floor (63009.5)     		tx = 63009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593120574951172 × 217)
    floor (0.593120574951172 × 131072)
    floor (77741.5)     		ty = 77741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63009 / 77741 ti = "17/63009/77741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63009/77741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63009 ÷ 217
    63009 ÷ 131072     		x = 0.480720520019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77741 ÷ 217
    77741 ÷ 131072     		y = 0.593116760253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480720520019531 × 2 - 1) × π
    -0.0385589599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12113655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593116760253906 × 2 - 1) × π
    -0.186233520507812 × 3.1415926535     		Φ = -0.585069859862785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12113655} λ = -0.12113655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.585069859862785))-π/2
    2×atan(0.557066943832529)-π/2
    2×0.508252692099069-π/2
    1.01650538419814-1.57079632675     		φ = -0.55429094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12113655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.940613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55429094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.758531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63009 KachelY 77741 -0.12113655 -0.55429094 -6.940613 -31.758531
    Oben rechts KachelX + 1 63010 KachelY 77741 -0.12108861 -0.55429094 -6.937866 -31.758531
    Unten links KachelX 63009 KachelY + 1 77742 -0.12113655 -0.55433170 -6.940613 -31.760867
    Unten rechts KachelX + 1 63010 KachelY + 1 77742 -0.12108861 -0.55433170 -6.937866 -31.760867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55429094--0.55433170) × R
    4.0759999999973e-05 × 6371000     		dl = 259.681959999828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55429094--0.55433170) × R
    4.0759999999973e-05 × 6371000     		dr = 259.681959999828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12113655--0.12108861) × cos(-0.55429094) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.850273861004416 × 6371000     		do = 259.695523199911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12113655--0.12108861) × cos(-0.55433170) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.850252406657806 × 6371000     		du = 259.688970490221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55429094)-sin(-0.55433170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850273861004416-0.850252406657806)×R²
    abs(-0.12108861--0.12113655)×2.14543466107164e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14543466107164e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14543466107164e-05×40589641000000     		ar = 67437.3916668677m²