Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63008 / 77737
↖ ↑ ↗
← S 31.749190°
W  6.943359°		 ← 259.67 m → S 31.749190°
W  6.940613°		 →
↑
259.68 m
↓
↑
259.68 m
↓
S 31.751525°
W  6.943359°		 ← 259.66 m →
67 430 m²		 S 31.751525°
W  6.940613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480716705322266 y=0.593090057373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480716705322266 × 217)
    floor (0.480716705322266 × 131072)
    floor (63008.5)     		tx = 63008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593090057373047 × 217)
    floor (0.593090057373047 × 131072)
    floor (77737.5)     		ty = 77737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63008 / 77737 ti = "17/63008/77737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63008/77737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63008 ÷ 217
    63008 ÷ 131072     		x = 0.480712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77737 ÷ 217
    77737 ÷ 131072     		y = 0.593086242675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480712890625 × 2 - 1) × π
    -0.03857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12118448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593086242675781 × 2 - 1) × π
    -0.186172485351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.584878112264305
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12118448} λ = -0.12118448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.584878112264305))-π/2
    2×atan(0.557173770322736)-π/2
    2×0.508334215197797-π/2
    1.01666843039559-1.57079632675     		φ = -0.55412790
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12118448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.943359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55412790 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.749190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63008 KachelY 77737 -0.12118448 -0.55412790 -6.943359 -31.749190
    Oben rechts KachelX + 1 63009 KachelY 77737 -0.12113655 -0.55412790 -6.940613 -31.749190
    Unten links KachelX 63008 KachelY + 1 77738 -0.12118448 -0.55416866 -6.943359 -31.751525
    Unten rechts KachelX + 1 63009 KachelY + 1 77738 -0.12113655 -0.55416866 -6.940613 -31.751525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55412790--0.55416866) × R
    4.0759999999973e-05 × 6371000     		dl = 259.681959999828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55412790--0.55416866) × R
    4.0759999999973e-05 × 6371000     		dr = 259.681959999828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12118448--0.12113655) × cos(-0.55412790) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.850359664264243 × 6371000     		do = 259.667553309856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12118448--0.12113655) × cos(-0.55416866) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.85033821556835 × 6371000     		du = 259.661003692538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55412790)-sin(-0.55416866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850359664264243-0.85033821556835)×R²
    abs(-0.12113655--0.12118448)×2.14486958931559e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.14486958931559e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.14486958931559e-05×40589641000000     		ar = 67430.1287924327m²