Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63004 / 76636
↖ ↑ ↗
← S 29.142566°
W  6.954346°		 ← 266.76 m → S 29.142566°
W  6.951599°		 →
↑
266.75 m
↓
↑
266.75 m
↓
S 29.144965°
W  6.954346°		 ← 266.76 m →
71 159 m²		 S 29.144965°
W  6.951599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480686187744141 y=0.584690093994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480686187744141 × 217)
    floor (0.480686187744141 × 131072)
    floor (63004.5)     		tx = 63004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584690093994141 × 217)
    floor (0.584690093994141 × 131072)
    floor (76636.5)     		ty = 76636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63004 / 76636 ti = "17/63004/76636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63004/76636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63004 ÷ 217
    63004 ÷ 131072     		x = 0.480682373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76636 ÷ 217
    76636 ÷ 131072     		y = 0.584686279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480682373046875 × 2 - 1) × π
    -0.03863525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12137623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584686279296875 × 2 - 1) × π
    -0.16937255859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.532099585782623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12137623} λ = -0.12137623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.532099585782623))-π/2
    2×atan(0.587370439506946)-π/2
    2×0.531081297460649-π/2
    1.0621625949213-1.57079632675     		φ = -0.50863373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12137623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.954346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50863373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.142566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63004 KachelY 76636 -0.12137623 -0.50863373 -6.954346 -29.142566
    Oben rechts KachelX + 1 63005 KachelY 76636 -0.12132829 -0.50863373 -6.951599 -29.142566
    Unten links KachelX 63004 KachelY + 1 76637 -0.12137623 -0.50867560 -6.954346 -29.144965
    Unten rechts KachelX + 1 63005 KachelY + 1 76637 -0.12132829 -0.50867560 -6.951599 -29.144965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50863373--0.50867560) × R
    4.18699999999994e-05 × 6371000     		dl = 266.753769999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50863373--0.50867560) × R
    4.18699999999994e-05 × 6371000     		dr = 266.753769999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12137623--0.12132829) × cos(-0.50863373) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.873410674792126 × 6371000     		do = 266.762101672264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12137623--0.12132829) × cos(-0.50867560) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.873390283990262 × 6371000     		du = 266.755873796515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50863373)-sin(-0.50867560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873410674792126-0.873390283990262)×R²
    abs(-0.12132829--0.12137623)×2.03908018635568e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.03908018635568e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.03908018635568e-05×40589641000000     		ar = 71158.9656698978m²