Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63003 / 76983
↖ ↑ ↗
← S 29.971591°
W  6.957092°		 ← 264.58 m → S 29.971591°
W  6.954346°		 →
↑
264.59 m
↓
↑
264.59 m
↓
S 29.973970°
W  6.957092°		 ← 264.58 m →
70 004 m²		 S 29.973970°
W  6.954346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480678558349609 y=0.587337493896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480678558349609 × 217)
    floor (0.480678558349609 × 131072)
    floor (63003.5)     		tx = 63003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587337493896484 × 217)
    floor (0.587337493896484 × 131072)
    floor (76983.5)     		ty = 76983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63003 / 76983 ti = "17/63003/76983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63003/76983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63003 ÷ 217
    63003 ÷ 131072     		x = 0.480674743652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76983 ÷ 217
    76983 ÷ 131072     		y = 0.587333679199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480674743652344 × 2 - 1) × π
    -0.0386505126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12142417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587333679199219 × 2 - 1) × π
    -0.174667358398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.548733689950783
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12142417} λ = -0.12142417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.548733689950783))-π/2
    2×atan(0.577680870499963)-π/2
    2×0.523846691085738-π/2
    1.04769338217148-1.57079632675     		φ = -0.52310294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12142417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.957092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52310294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.971591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63003 KachelY 76983 -0.12142417 -0.52310294 -6.957092 -29.971591
    Oben rechts KachelX + 1 63004 KachelY 76983 -0.12137623 -0.52310294 -6.954346 -29.971591
    Unten links KachelX 63003 KachelY + 1 76984 -0.12142417 -0.52314447 -6.957092 -29.973970
    Unten rechts KachelX + 1 63004 KachelY + 1 76984 -0.12137623 -0.52314447 -6.954346 -29.973970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52310294--0.52314447) × R
    4.15299999999563e-05 × 6371000     		dl = 264.587629999722m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52310294--0.52314447) × R
    4.15299999999563e-05 × 6371000     		dr = 264.587629999722m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12142417--0.12137623) × cos(-0.52310294) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.866273215115986 × 6371000     		do = 264.582137768959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12142417--0.12137623) × cos(-0.52314447) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.866252467204736 × 6371000     		du = 264.575800822812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52310294)-sin(-0.52314447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866273215115986-0.866252467204736)×R²
    abs(-0.12137623--0.12142417)×2.0747911250063e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.0747911250063e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.0747911250063e-05×40589641000000     		ar = 70004.3224439169m²