Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63002 / 76673
↖ ↑ ↗
← S 29.231287°
W  6.959839°		 ← 266.48 m → S 29.231287°
W  6.957092°		 →
↑
266.50 m
↓
↑
266.50 m
↓
S 29.233684°
W  6.959839°		 ← 266.47 m →
71 015 m²		 S 29.233684°
W  6.957092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480670928955078 y=0.584972381591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480670928955078 × 217)
    floor (0.480670928955078 × 131072)
    floor (63002.5)     		tx = 63002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584972381591797 × 217)
    floor (0.584972381591797 × 131072)
    floor (76673.5)     		ty = 76673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63002 / 76673 ti = "17/63002/76673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63002/76673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63002 ÷ 217
    63002 ÷ 131072     		x = 0.480667114257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76673 ÷ 217
    76673 ÷ 131072     		y = 0.584968566894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480667114257812 × 2 - 1) × π
    -0.038665771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12147210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584968566894531 × 2 - 1) × π
    -0.169937133789062 × 3.1415926535     		Φ = -0.533873251068565
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12147210} λ = -0.12147210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.533873251068565))-π/2
    2×atan(0.586329564303385)-π/2
    2×0.530307063093497-π/2
    1.06061412618699-1.57079632675     		φ = -0.51018220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12147210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.959839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51018220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.231287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63002 KachelY 76673 -0.12147210 -0.51018220 -6.959839 -29.231287
    Oben rechts KachelX + 1 63003 KachelY 76673 -0.12142417 -0.51018220 -6.957092 -29.231287
    Unten links KachelX 63002 KachelY + 1 76674 -0.12147210 -0.51022403 -6.959839 -29.233684
    Unten rechts KachelX + 1 63003 KachelY + 1 76674 -0.12142417 -0.51022403 -6.957092 -29.233684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51018220--0.51022403) × R
    4.18300000000205e-05 × 6371000     		dl = 266.49893000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51018220--0.51022403) × R
    4.18300000000205e-05 × 6371000     		dr = 266.49893000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12147210--0.12142417) × cos(-0.51018220) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.872655547265681 × 6371000     		do = 266.475869403818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12147210--0.12142417) × cos(-0.51022403) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.872635119396768 × 6371000     		du = 266.469631508298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51018220)-sin(-0.51022403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872655547265681-0.872635119396768)×R²
    abs(-0.12142417--0.12147210)×2.04278689138748e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.04278689138748e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.04278689138748e-05×40589641000000     		ar = 71014.702881148m²