Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63001 / 29227
↖ ↑ ↗
← N 70.100204°
W  6.962585°		 ← 103.96 m → N 70.100204°
W  6.959839°		 →
↑
103.97 m
↓
↑
103.97 m
↓
N 70.099269°
W  6.962585°		 ← 103.96 m →
10 809 m²		 N 70.099269°
W  6.959839°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480663299560547 y=0.222988128662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480663299560547 × 217)
    floor (0.480663299560547 × 131072)
    floor (63001.5)     		tx = 63001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222988128662109 × 217)
    floor (0.222988128662109 × 131072)
    floor (29227.5)     		ty = 29227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63001 / 29227 ti = "17/63001/29227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63001/29227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63001 ÷ 217
    63001 ÷ 131072     		x = 0.480659484863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29227 ÷ 217
    29227 ÷ 131072     		y = 0.222984313964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480659484863281 × 2 - 1) × π
    -0.0386810302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12152004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222984313964844 × 2 - 1) × π
    0.554031372070312 × 3.1415926535     		Φ = 1.74054088830462
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12152004} λ = -0.12152004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74054088830462))-π/2
    2×atan(5.70042588265484)-π/2
    2×1.39713784424272-π/2
    2.79427568848544-1.57079632675     		φ = 1.22347936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12152004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.962585°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22347936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.100204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63001 KachelY 29227 -0.12152004 1.22347936 -6.962585 70.100204
    Oben rechts KachelX + 1 63002 KachelY 29227 -0.12147210 1.22347936 -6.959839 70.100204
    Unten links KachelX 63001 KachelY + 1 29228 -0.12152004 1.22346304 -6.962585 70.099269
    Unten rechts KachelX + 1 63002 KachelY + 1 29228 -0.12147210 1.22346304 -6.959839 70.099269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22347936-1.22346304) × R
    1.63200000000696e-05 × 6371000     		dl = 103.974720000443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22347936-1.22346304) × R
    1.63200000000696e-05 × 6371000     		dr = 103.974720000443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12152004--0.12147210) × cos(1.22347936) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.340376208095939 × 6371000     		do = 103.959655236088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12152004--0.12147210) × cos(1.22346304) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.340391553572587 × 6371000     		du = 103.964342139649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22347936)-sin(1.22346304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340376208095939-0.340391553572587)×R²
    abs(-0.12147210--0.12152004)×1.53454766481653e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.53454766481653e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.53454766481653e-05×40589641000000     		ar = 10809.4197045338m²