Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63000 / 79096
↖ ↑ ↗
← S 34.867905°
W  6.965332°		 ← 250.59 m → S 34.867905°
W  6.962585°		 →
↑
250.64 m
↓
↑
250.64 m
↓
S 34.870159°
W  6.965332°		 ← 250.59 m →
62 807 m²		 S 34.870159°
W  6.962585°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 79096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480655670166016 y=0.603458404541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480655670166016 × 217)
    floor (0.480655670166016 × 131072)
    floor (63000.5)     		tx = 63000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603458404541016 × 217)
    floor (0.603458404541016 × 131072)
    floor (79096.5)     		ty = 79096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63000 / 79096 ti = "17/63000/79096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63000/79096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63000 ÷ 217
    63000 ÷ 131072     		x = 0.48065185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 79096 ÷ 217
    79096 ÷ 131072     		y = 0.60345458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48065185546875 × 2 - 1) × π
    -0.0386962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12156798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60345458984375 × 2 - 1) × π
    -0.2069091796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.650024358847961
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12156798} λ = -0.12156798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.650024358847961))-π/2
    2×atan(0.522033060482189)-π/2
    2×0.481118290970423-π/2
    0.962236581940846-1.57079632675     		φ = -0.60855974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12156798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.965332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60855974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.867905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63000 KachelY 79096 -0.12156798 -0.60855974 -6.965332 -34.867905
    Oben rechts KachelX + 1 63001 KachelY 79096 -0.12152004 -0.60855974 -6.962585 -34.867905
    Unten links KachelX 63000 KachelY + 1 79097 -0.12156798 -0.60859908 -6.965332 -34.870159
    Unten rechts KachelX + 1 63001 KachelY + 1 79097 -0.12152004 -0.60859908 -6.962585 -34.870159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60855974--0.60859908) × R
    3.93399999999433e-05 × 6371000     		dl = 250.635139999639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60855974--0.60859908) × R
    3.93399999999433e-05 × 6371000     		dr = 250.635139999639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12156798--0.12152004) × cos(-0.60855974) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.820472245530492 × 6371000     		do = 250.593342740666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12156798--0.12152004) × cos(-0.60859908) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.820449754754196 × 6371000     		du = 250.586473478672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60855974)-sin(-0.60859908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.820472245530492-0.820449754754196)×R²
    abs(-0.12152004--0.12156798)×2.24907762962356e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.24907762962356e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.24907762962356e-05×40589641000000     		ar = 62806.6367096279m²