Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62999 / 29218
↖ ↑ ↗
← N 70.108616°
W  6.968078°		 ← 103.90 m → N 70.108616°
W  6.965332°		 →
↑
103.91 m
↓
↑
103.91 m
↓
N 70.107681°
W  6.968078°		 ← 103.90 m →
10 796 m²		 N 70.107681°
W  6.965332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480648040771484 y=0.222919464111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480648040771484 × 217)
    floor (0.480648040771484 × 131072)
    floor (62999.5)     		tx = 62999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222919464111328 × 217)
    floor (0.222919464111328 × 131072)
    floor (29218.5)     		ty = 29218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62999 / 29218 ti = "17/62999/29218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62999/29218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62999 ÷ 217
    62999 ÷ 131072     		x = 0.480644226074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29218 ÷ 217
    29218 ÷ 131072     		y = 0.222915649414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480644226074219 × 2 - 1) × π
    -0.0387115478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12161591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222915649414062 × 2 - 1) × π
    0.554168701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.7409723204012
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12161591} λ = -0.12161591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7409723204012))-π/2
    2×atan(5.70288575994165)-π/2
    2×1.39721125396155-π/2
    2.7944225079231-1.57079632675     		φ = 1.22362618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12161591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.968078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22362618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.108616°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62999 KachelY 29218 -0.12161591 1.22362618 -6.968078 70.108616
    Oben rechts KachelX + 1 63000 KachelY 29218 -0.12156798 1.22362618 -6.965332 70.108616
    Unten links KachelX 62999 KachelY + 1 29219 -0.12161591 1.22360987 -6.968078 70.107681
    Unten rechts KachelX + 1 63000 KachelY + 1 29219 -0.12156798 1.22360987 -6.965332 70.107681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22362618-1.22360987) × R
    1.63099999999083e-05 × 6371000     		dl = 103.911009999416m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22362618-1.22360987) × R
    1.63099999999083e-05 × 6371000     		dr = 103.911009999416m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12161591--0.12156798) × cos(1.22362618) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.340238151147407 × 6371000     		do = 103.895812517792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12161591--0.12156798) × cos(1.22360987) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.340253488036147 × 6371000     		du = 103.900495821272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22362618)-sin(1.22360987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340238151147407-0.340253488036147)×R²
    abs(-0.12156798--0.12161591)×1.53368887397809e-05×R²
    4.79299999999877e-05×1.53368887397809e-05×6371000²
    4.79299999999877e-05×1.53368887397809e-05×40589641000000     		ar = 10796.1621370611m²