Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62996 / 77738
↖ ↑ ↗
← S 31.751525°
W  6.976319°		 ← 259.72 m → S 31.751525°
W  6.973572°		 →
↑
259.68 m
↓
↑
259.68 m
↓
S 31.753861°
W  6.976319°		 ← 259.71 m →
67 442 m²		 S 31.753861°
W  6.973572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480625152587891 y=0.593097686767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480625152587891 × 217)
    floor (0.480625152587891 × 131072)
    floor (62996.5)     		tx = 62996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593097686767578 × 217)
    floor (0.593097686767578 × 131072)
    floor (77738.5)     		ty = 77738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62996 / 77738 ti = "17/62996/77738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62996/77738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62996 ÷ 217
    62996 ÷ 131072     		x = 0.480621337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77738 ÷ 217
    77738 ÷ 131072     		y = 0.593093872070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480621337890625 × 2 - 1) × π
    -0.03875732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12175973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593093872070312 × 2 - 1) × π
    -0.186187744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.584926049163925
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12175973} λ = -0.12175973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.584926049163925))-π/2
    2×atan(0.557147061779804)-π/2
    2×0.508313833651882-π/2
    1.01662766730376-1.57079632675     		φ = -0.55416866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12175973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.976319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55416866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.751525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62996 KachelY 77738 -0.12175973 -0.55416866 -6.976319 -31.751525
    Oben rechts KachelX + 1 62997 KachelY 77738 -0.12171179 -0.55416866 -6.973572 -31.751525
    Unten links KachelX 62996 KachelY + 1 77739 -0.12175973 -0.55420942 -6.976319 -31.753861
    Unten rechts KachelX + 1 62997 KachelY + 1 77739 -0.12171179 -0.55420942 -6.973572 -31.753861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55416866--0.55420942) × R
    4.0759999999973e-05 × 6371000     		dl = 259.681959999828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55416866--0.55420942) × R
    4.0759999999973e-05 × 6371000     		dr = 259.681959999828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12175973--0.12171179) × cos(-0.55416866) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.85033821556835 × 6371000     		do = 259.715178740223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12175973--0.12171179) × cos(-0.55420942) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.850316765459724 × 6371000     		du = 259.708627324923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55416866)-sin(-0.55420942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85033821556835-0.850316765459724)×R²
    abs(-0.12171179--0.12175973)×2.14501086259755e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14501086259755e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14501086259755e-05×40589641000000     		ar = 67442.4960242748m²