Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62994 / 76660
↖ ↑ ↗
← S 29.200124°
W  6.981812°		 ← 266.61 m → S 29.200124°
W  6.979065°		 →
↑
266.56 m
↓
↑
266.56 m
↓
S 29.202521°
W  6.981812°		 ← 266.61 m →
71 068 m²		 S 29.202521°
W  6.979065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480609893798828 y=0.584873199462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480609893798828 × 217)
    floor (0.480609893798828 × 131072)
    floor (62994.5)     		tx = 62994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584873199462891 × 217)
    floor (0.584873199462891 × 131072)
    floor (76660.5)     		ty = 76660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62994 / 76660 ti = "17/62994/76660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62994/76660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62994 ÷ 217
    62994 ÷ 131072     		x = 0.480606079101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76660 ÷ 217
    76660 ÷ 131072     		y = 0.584869384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480606079101562 × 2 - 1) × π
    -0.038787841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12185560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584869384765625 × 2 - 1) × π
    -0.16973876953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.533250071373505
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12185560} λ = -0.12185560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.533250071373505))-π/2
    2×atan(0.586695066857529)-π/2
    2×0.5305790150672-π/2
    1.0611580301344-1.57079632675     		φ = -0.50963830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12185560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.981812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50963830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.200124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62994 KachelY 76660 -0.12185560 -0.50963830 -6.981812 -29.200124
    Oben rechts KachelX + 1 62995 KachelY 76660 -0.12180766 -0.50963830 -6.979065 -29.200124
    Unten links KachelX 62994 KachelY + 1 76661 -0.12185560 -0.50968014 -6.981812 -29.202521
    Unten rechts KachelX + 1 62995 KachelY + 1 76661 -0.12180766 -0.50968014 -6.979065 -29.202521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50963830--0.50968014) × R
    4.18399999999597e-05 × 6371000     		dl = 266.562639999743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50963830--0.50968014) × R
    4.18399999999597e-05 × 6371000     		dr = 266.562639999743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12185560--0.12180766) × cos(-0.50963830) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.872921024262875 × 6371000     		do = 266.612549797026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12185560--0.12180766) × cos(-0.50968014) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.872900611371849 × 6371000     		du = 266.606315174679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50963830)-sin(-0.50968014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872921024262875-0.872900611371849)×R²
    abs(-0.12180766--0.12185560)×2.04128910259449e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.04128910259449e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.04128910259449e-05×40589641000000     		ar = 71068.1141825785m²