Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62992 / 38749
↖ ↑ ↗
← N 59.044793°
W  6.987305°		 ← 157.07 m → N 59.044793°
W  6.984558°		 →
↑
157.11 m
↓
↑
157.11 m
↓
N 59.043380°
W  6.987305°		 ← 157.07 m →
24 677 m²		 N 59.043380°
W  6.984558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480594635009766 y=0.295635223388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480594635009766 × 217)
    floor (0.480594635009766 × 131072)
    floor (62992.5)     		tx = 62992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295635223388672 × 217)
    floor (0.295635223388672 × 131072)
    floor (38749.5)     		ty = 38749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62992 / 38749 ti = "17/62992/38749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62992/38749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62992 ÷ 217
    62992 ÷ 131072     		x = 0.4805908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38749 ÷ 217
    38749 ÷ 131072     		y = 0.295631408691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4805908203125 × 2 - 1) × π
    -0.038818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12195147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295631408691406 × 2 - 1) × π
    0.408737182617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.28408573012244
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12195147} λ = -0.12195147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28408573012244))-π/2
    2×atan(3.61136468545783)-π/2
    2×1.30066118659776-π/2
    2.60132237319551-1.57079632675     		φ = 1.03052605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12195147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.987305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03052605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.044793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62992 KachelY 38749 -0.12195147 1.03052605 -6.987305 59.044793
    Oben rechts KachelX + 1 62993 KachelY 38749 -0.12190354 1.03052605 -6.984558 59.044793
    Unten links KachelX 62992 KachelY + 1 38750 -0.12195147 1.03050139 -6.987305 59.043380
    Unten rechts KachelX + 1 62993 KachelY + 1 38750 -0.12190354 1.03050139 -6.984558 59.043380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03052605-1.03050139) × R
    2.46600000000097e-05 × 6371000     		dl = 157.108860000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03052605-1.03050139) × R
    2.46600000000097e-05 × 6371000     		dr = 157.108860000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12195147--0.12190354) × cos(1.03052605) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.514367791624945 × 6371000     		do = 157.068393017215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12195147--0.12190354) × cos(1.03050139) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.514388939137125 × 6371000     		du = 157.074850664464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03052605)-sin(1.03050139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514367791624945-0.514388939137125)×R²
    abs(-0.12190354--0.12195147)×2.11475121806304e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.11475121806304e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.11475121806304e-05×40589641000000     		ar = 24677.3434470815m²