Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62992 / 27153
↖ ↑ ↗
← N 71.950927°
W  6.987305°		 ← 94.61 m → N 71.950927°
W  6.984558°		 →
↑
94.61 m
↓
↑
94.61 m
↓
N 71.950076°
W  6.987305°		 ← 94.62 m →
8 951 m²		 N 71.950076°
W  6.984558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480594635009766 y=0.207164764404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480594635009766 × 217)
    floor (0.480594635009766 × 131072)
    floor (62992.5)     		tx = 62992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207164764404297 × 217)
    floor (0.207164764404297 × 131072)
    floor (27153.5)     		ty = 27153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62992 / 27153 ti = "17/62992/27153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62992/27153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62992 ÷ 217
    62992 ÷ 131072     		x = 0.4805908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27153 ÷ 217
    27153 ÷ 131072     		y = 0.207160949707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4805908203125 × 2 - 1) × π
    -0.038818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12195147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207160949707031 × 2 - 1) × π
    0.585678100585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.83996201811662
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12195147} λ = -0.12195147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83996201811662))-π/2
    2×atan(6.29629911118641)-π/2
    2×1.41328844864561-π/2
    2.82657689729123-1.57079632675     		φ = 1.25578057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12195147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.987305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25578057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.950927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62992 KachelY 27153 -0.12195147 1.25578057 -6.987305 71.950927
    Oben rechts KachelX + 1 62993 KachelY 27153 -0.12190354 1.25578057 -6.984558 71.950927
    Unten links KachelX 62992 KachelY + 1 27154 -0.12195147 1.25576572 -6.987305 71.950076
    Unten rechts KachelX + 1 62993 KachelY + 1 27154 -0.12190354 1.25576572 -6.984558 71.950076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25578057-1.25576572) × R
    1.48499999998997e-05 × 6371000     		dl = 94.6093499993608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25578057-1.25576572) × R
    1.48499999998997e-05 × 6371000     		dr = 94.6093499993608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12195147--0.12190354) × cos(1.25578057) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.309831452692673 × 6371000     		do = 94.6107613520868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12195147--0.12190354) × cos(1.25576572) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.309845571912242 × 6371000     		du = 94.6150728256362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25578057)-sin(1.25576572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309831452692673-0.309845571912242)×R²
    abs(-0.12190354--0.12195147)×1.41192195686202e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.41192195686202e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.41192195686202e-05×40589641000000     		ar = 8951.26658760869m²