Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62989 / 79081
↖ ↑ ↗
← S 34.834096°
W  6.995544°		 ← 250.64 m → S 34.834096°
W  6.992798°		 →
↑
250.70 m
↓
↑
250.70 m
↓
S 34.836350°
W  6.995544°		 ← 250.64 m →
62 835 m²		 S 34.836350°
W  6.992798°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 79081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480571746826172 y=0.603343963623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480571746826172 × 217)
    floor (0.480571746826172 × 131072)
    floor (62989.5)     		tx = 62989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603343963623047 × 217)
    floor (0.603343963623047 × 131072)
    floor (79081.5)     		ty = 79081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62989 / 79081 ti = "17/62989/79081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62989/79081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62989 ÷ 217
    62989 ÷ 131072     		x = 0.480567932128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 79081 ÷ 217
    79081 ÷ 131072     		y = 0.603340148925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480567932128906 × 2 - 1) × π
    -0.0388641357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12209528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.603340148925781 × 2 - 1) × π
    -0.206680297851562 × 3.1415926535     		Φ = -0.649305305353661
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12209528} λ = -0.12209528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.649305305353661))-π/2
    2×atan(0.522408565166267)-π/2
    2×0.481413333307697-π/2
    0.962826666615394-1.57079632675     		φ = -0.60796966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12209528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.995544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60796966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.834096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62989 KachelY 79081 -0.12209528 -0.60796966 -6.995544 -34.834096
    Oben rechts KachelX + 1 62990 KachelY 79081 -0.12204735 -0.60796966 -6.992798 -34.834096
    Unten links KachelX 62989 KachelY + 1 79082 -0.12209528 -0.60800901 -6.995544 -34.836350
    Unten rechts KachelX + 1 62990 KachelY + 1 79082 -0.12204735 -0.60800901 -6.992798 -34.836350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60796966--0.60800901) × R
    3.93499999999936e-05 × 6371000     		dl = 250.698849999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60796966--0.60800901) × R
    3.93499999999936e-05 × 6371000     		dr = 250.698849999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12209528--0.12204735) × cos(-0.60796966) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.820809443356359 × 6371000     		do = 250.644037866476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12209528--0.12204735) × cos(-0.60800901) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.820786965917607 × 6371000     		du = 250.63717411015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60796966)-sin(-0.60800901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.820809443356359-0.820786965917607)×R²
    abs(-0.12204735--0.12209528)×2.24774387516113e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.24774387516113e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.24774387516113e-05×40589641000000     		ar = 62835.3116925983m²