Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62980 / 38750
↖ ↑ ↗
← N 59.043380°
W  7.020264°		 ← 157.11 m → N 59.043380°
W  7.017517°		 →
↑
157.11 m
↓
↑
157.11 m
↓
N 59.041968°
W  7.020264°		 ← 157.11 m →
24 684 m²		 N 59.041968°
W  7.017517°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480503082275391 y=0.295642852783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480503082275391 × 217)
    floor (0.480503082275391 × 131072)
    floor (62980.5)     		tx = 62980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295642852783203 × 217)
    floor (0.295642852783203 × 131072)
    floor (38750.5)     		ty = 38750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62980 / 38750 ti = "17/62980/38750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62980/38750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62980 ÷ 217
    62980 ÷ 131072     		x = 0.480499267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38750 ÷ 217
    38750 ÷ 131072     		y = 0.295639038085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480499267578125 × 2 - 1) × π
    -0.03900146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12252672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295639038085938 × 2 - 1) × π
    0.408721923828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.28403779322282
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12252672} λ = -0.12252672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28403779322282))-π/2
    2×atan(3.61119157198071)-π/2
    2×1.30064885774567-π/2
    2.60129771549135-1.57079632675     		φ = 1.03050139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12252672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.020264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03050139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.043380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62980 KachelY 38750 -0.12252672 1.03050139 -7.020264 59.043380
    Oben rechts KachelX + 1 62981 KachelY 38750 -0.12247878 1.03050139 -7.017517 59.043380
    Unten links KachelX 62980 KachelY + 1 38751 -0.12252672 1.03047673 -7.020264 59.041968
    Unten rechts KachelX + 1 62981 KachelY + 1 38751 -0.12247878 1.03047673 -7.017517 59.041968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03050139-1.03047673) × R
    2.46600000000097e-05 × 6371000     		dl = 157.108860000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03050139-1.03047673) × R
    2.46600000000097e-05 × 6371000     		dr = 157.108860000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12252672--0.12247878) × cos(1.03050139) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.514388939137125 × 6371000     		do = 157.107622383805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12252672--0.12247878) × cos(1.03047673) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.514410086336498 × 6371000     		du = 157.114081282822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03050139)-sin(1.03047673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514388939137125-0.514410086336498)×R²
    abs(-0.12247878--0.12252672)×2.11471993727397e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.11471993727397e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.11471993727397e-05×40589641000000     		ar = 24683.5068263675m²