Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6298 / 6211
↖ ↑ ↗
← S 67.659386°
E 96.767578°		 ← 1 857.41 m → S 67.659386°
E 96.811524°		 →
↑
1 856.76 m
↓
↑
1 856.76 m
↓
S 67.676085°
E 96.767578°		 ← 1 856.10 m →
3 447 557 m²		 S 67.676085°
E 96.811524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76885986328125 y=0.75823974609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76885986328125 × 213)
    floor (0.76885986328125 × 8192)
    floor (6298.5)     		tx = 6298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75823974609375 × 213)
    floor (0.75823974609375 × 8192)
    floor (6211.5)     		ty = 6211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6298 / 6211 ti = "13/6298/6211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6298/6211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6298 ÷ 213
    6298 ÷ 8192     		x = 0.768798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6211 ÷ 213
    6211 ÷ 8192     		y = 0.7581787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768798828125 × 2 - 1) × π
    0.53759765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.68891285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7581787109375 × 2 - 1) × π
    -0.516357421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6221846831427
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68891285} λ = 1.68891285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6221846831427))-π/2
    2×atan(0.197466825057489)-π/2
    2×0.194958632387661-π/2
    0.389917264775322-1.57079632675     		φ = -1.18087906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68891285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.767578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18087906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.659386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6298 KachelY 6211 1.68891285 -1.18087906 96.767578 -67.659386
    Oben rechts KachelX + 1 6299 KachelY 6211 1.68967984 -1.18087906 96.811524 -67.659386
    Unten links KachelX 6298 KachelY + 1 6212 1.68891285 -1.18117050 96.767578 -67.676085
    Unten rechts KachelX + 1 6299 KachelY + 1 6212 1.68967984 -1.18117050 96.811524 -67.676085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18087906--1.18117050) × R
    0.00029143999999981 × 6371000     		dl = 1856.76423999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18087906--1.18117050) × R
    0.00029143999999981 × 6371000     		dr = 1856.76423999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68891285-1.68967984) × cos(-1.18087906) × R
    0.000766990000000023 × 0.380111893131144 × 6371000     		do = 1857.41421523459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68891285-1.68967984) × cos(-1.18117050) × R
    0.000766990000000023 × 0.37984231232963 × 6371000     		du = 1856.09691045688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18087906)-sin(-1.18117050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380111893131144-0.37984231232963)×R²
    abs(1.68967984-1.68891285)×0.000269580801513736×R²
    0.000766990000000023×0.000269580801513736×6371000²
    0.000766990000000023×0.000269580801513736×40589641000000     		ar = 3447557.3559098m²