Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6298 / 6138
↖ ↑ ↗
← S 66.407955°
E 96.767578°		 ← 1 955.68 m → S 66.407955°
E 96.811524°		 →
↑
1 955.01 m
↓
↑
1 955.01 m
↓
S 66.425537°
E 96.767578°		 ← 1 954.31 m →
3 822 023 m²		 S 66.425537°
E 96.811524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76885986328125 y=0.74932861328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76885986328125 × 213)
    floor (0.76885986328125 × 8192)
    floor (6298.5)     		tx = 6298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74932861328125 × 213)
    floor (0.74932861328125 × 8192)
    floor (6138.5)     		ty = 6138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6298 / 6138 ti = "13/6298/6138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6298/6138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6298 ÷ 213
    6298 ÷ 8192     		x = 0.768798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6138 ÷ 213
    6138 ÷ 8192     		y = 0.749267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768798828125 × 2 - 1) × π
    0.53759765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.68891285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749267578125 × 2 - 1) × π
    -0.49853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.56619438438647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68891285} λ = 1.68891285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56619438438647))-π/2
    2×atan(0.208838430793269)-π/2
    2×0.205879427086346-π/2
    0.411758854172693-1.57079632675     		φ = -1.15903747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68891285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.767578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15903747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.407955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6298 KachelY 6138 1.68891285 -1.15903747 96.767578 -66.407955
    Oben rechts KachelX + 1 6299 KachelY 6138 1.68967984 -1.15903747 96.811524 -66.407955
    Unten links KachelX 6298 KachelY + 1 6139 1.68891285 -1.15934433 96.767578 -66.425537
    Unten rechts KachelX + 1 6299 KachelY + 1 6139 1.68967984 -1.15934433 96.811524 -66.425537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15903747--1.15934433) × R
    0.00030686000000002 × 6371000     		dl = 1955.00506000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15903747--1.15934433) × R
    0.00030686000000002 × 6371000     		dr = 1955.00506000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68891285-1.68967984) × cos(-1.15903747) × R
    0.000766990000000023 × 0.400221794779465 × 6371000     		do = 1955.68111470167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68891285-1.68967984) × cos(-1.15934433) × R
    0.000766990000000023 × 0.399940563818873 × 6371000     		du = 1954.3068814998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15903747)-sin(-1.15934433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400221794779465-0.399940563818873)×R²
    abs(1.68967984-1.68891285)×0.000281230960591294×R²
    0.000766990000000023×0.000281230960591294×6371000²
    0.000766990000000023×0.000281230960591294×40589641000000     		ar = 3822023.18855079m²