Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62977 / 29183
↖ ↑ ↗
← N 70.141297°
W  7.028504°		 ← 103.75 m → N 70.141297°
W  7.025757°		 →
↑
103.72 m
↓
↑
103.72 m
↓
N 70.140365°
W  7.028504°		 ← 103.76 m →
10 762 m²		 N 70.140365°
W  7.025757°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480480194091797 y=0.222652435302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480480194091797 × 217)
    floor (0.480480194091797 × 131072)
    floor (62977.5)     		tx = 62977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222652435302734 × 217)
    floor (0.222652435302734 × 131072)
    floor (29183.5)     		ty = 29183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62977 / 29183 ti = "17/62977/29183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62977/29183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62977 ÷ 217
    62977 ÷ 131072     		x = 0.480476379394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29183 ÷ 217
    29183 ÷ 131072     		y = 0.222648620605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480476379394531 × 2 - 1) × π
    -0.0390472412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12267053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222648620605469 × 2 - 1) × π
    0.554702758789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.7426501118879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12267053} λ = -0.12267053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7426501118879))-π/2
    2×atan(5.71246204437714)-π/2
    2×1.39749645324425-π/2
    2.79499290648849-1.57079632675     		φ = 1.22419658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12267053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.028504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22419658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.141297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62977 KachelY 29183 -0.12267053 1.22419658 -7.028504 70.141297
    Oben rechts KachelX + 1 62978 KachelY 29183 -0.12262259 1.22419658 -7.025757 70.141297
    Unten links KachelX 62977 KachelY + 1 29184 -0.12267053 1.22418030 -7.028504 70.140365
    Unten rechts KachelX + 1 62978 KachelY + 1 29184 -0.12262259 1.22418030 -7.025757 70.140365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22419658-1.22418030) × R
    1.62800000000907e-05 × 6371000     		dl = 103.719880000578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22419658-1.22418030) × R
    1.62800000000907e-05 × 6371000     		dr = 103.719880000578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12267053--0.12262259) × cos(1.22419658) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.339701726290066 × 6371000     		do = 103.753651131413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12267053--0.12262259) × cos(1.22418030) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.339717038125863 × 6371000     		du = 103.758327760192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22419658)-sin(1.22418030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339701726290066-0.339717038125863)×R²
    abs(-0.12262259--0.12267053)×1.53118357973381e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.53118357973381e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.53118357973381e-05×40589641000000     		ar = 10761.5587749403m²