Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62975 / 29607
↖ ↑ ↗
← N 69.741895°
W  7.033997°		 ← 105.75 m → N 69.741895°
W  7.031250°		 →
↑
105.76 m
↓
↑
105.76 m
↓
N 69.740944°
W  7.033997°		 ← 105.76 m →
11 185 m²		 N 69.740944°
W  7.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480464935302734 y=0.225887298583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480464935302734 × 217)
    floor (0.480464935302734 × 131072)
    floor (62975.5)     		tx = 62975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225887298583984 × 217)
    floor (0.225887298583984 × 131072)
    floor (29607.5)     		ty = 29607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62975 / 29607 ti = "17/62975/29607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62975/29607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62975 ÷ 217
    62975 ÷ 131072     		x = 0.480461120605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29607 ÷ 217
    29607 ÷ 131072     		y = 0.225883483886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480461120605469 × 2 - 1) × π
    -0.0390777587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12276640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225883483886719 × 2 - 1) × π
    0.548233032226562 × 3.1415926535     		Φ = 1.722324866449
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12276640} λ = -0.12276640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.722324866449))-π/2
    2×atan(5.59752685103807)-π/2
    2×1.39401101189037-π/2
    2.78802202378075-1.57079632675     		φ = 1.21722570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12276640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.033997°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21722570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.741895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62975 KachelY 29607 -0.12276640 1.21722570 -7.033997 69.741895
    Oben rechts KachelX + 1 62976 KachelY 29607 -0.12271846 1.21722570 -7.031250 69.741895
    Unten links KachelX 62975 KachelY + 1 29608 -0.12276640 1.21720910 -7.033997 69.740944
    Unten rechts KachelX + 1 62976 KachelY + 1 29608 -0.12271846 1.21720910 -7.031250 69.740944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21722570-1.21720910) × R
    1.65999999999222e-05 × 6371000     		dl = 105.758599999505m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21722570-1.21720910) × R
    1.65999999999222e-05 × 6371000     		dr = 105.758599999505m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12276640--0.12271846) × cos(1.21722570) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.346249763842959 × 6371000     		do = 105.753590346553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12276640--0.12271846) × cos(1.21720910) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.346265336958547 × 6371000     		du = 105.758346776905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21722570)-sin(1.21720910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346249763842959-0.346265336958547)×R²
    abs(-0.12271846--0.12276640)×1.5573115587586e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.5573115587586e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.5573115587586e-05×40589641000000     		ar = 11184.6031770262m²