Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62975 / 29184
↖ ↑ ↗
← N 70.140365°
W  7.033997°		 ← 103.76 m → N 70.140365°
W  7.031250°		 →
↑
103.78 m
↓
↑
103.78 m
↓
N 70.139431°
W  7.033997°		 ← 103.76 m →
10 769 m²		 N 70.139431°
W  7.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480464935302734 y=0.222660064697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480464935302734 × 217)
    floor (0.480464935302734 × 131072)
    floor (62975.5)     		tx = 62975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222660064697266 × 217)
    floor (0.222660064697266 × 131072)
    floor (29184.5)     		ty = 29184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62975 / 29184 ti = "17/62975/29184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62975/29184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62975 ÷ 217
    62975 ÷ 131072     		x = 0.480461120605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29184 ÷ 217
    29184 ÷ 131072     		y = 0.22265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480461120605469 × 2 - 1) × π
    -0.0390777587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12276640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22265625 × 2 - 1) × π
    0.5546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.74260217498828
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12276640} λ = -0.12276640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74260217498828))-π/2
    2×atan(5.71218821322089)-π/2
    2×1.39748831093691-π/2
    2.79497662187382-1.57079632675     		φ = 1.22418030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12276640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.033997°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22418030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.140365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62975 KachelY 29184 -0.12276640 1.22418030 -7.033997 70.140365
    Oben rechts KachelX + 1 62976 KachelY 29184 -0.12271846 1.22418030 -7.031250 70.140365
    Unten links KachelX 62975 KachelY + 1 29185 -0.12276640 1.22416401 -7.033997 70.139431
    Unten rechts KachelX + 1 62976 KachelY + 1 29185 -0.12271846 1.22416401 -7.031250 70.139431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22418030-1.22416401) × R
    1.62900000000299e-05 × 6371000     		dl = 103.78359000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22418030-1.22416401) × R
    1.62900000000299e-05 × 6371000     		dr = 103.78359000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12276640--0.12271846) × cos(1.22418030) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.339717038125863 × 6371000     		do = 103.758327760192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12276640--0.12271846) × cos(1.22416401) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.339732359276844 × 6371000     		du = 103.763007234068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22418030)-sin(1.22416401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339717038125863-0.339732359276844)×R²
    abs(-0.12271846--0.12276640)×1.53211509808515e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.53211509808515e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.53211509808515e-05×40589641000000     		ar = 10768.6545739255m²