Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6297 / 6105
↖ ↑ ↗
← S 65.820782°
E 96.723633°		 ← 2 001.47 m → S 65.820782°
E 96.767578°		 →
↑
2 000.75 m
↓
↑
2 000.75 m
↓
S 65.838776°
E 96.723633°		 ← 2 000.07 m →
4 003 037 m²		 S 65.838776°
E 96.767578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76873779296875 y=0.74530029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76873779296875 × 213)
    floor (0.76873779296875 × 8192)
    floor (6297.5)     		tx = 6297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74530029296875 × 213)
    floor (0.74530029296875 × 8192)
    floor (6105.5)     		ty = 6105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6297 / 6105 ti = "13/6297/6105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6297/6105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6297 ÷ 213
    6297 ÷ 8192     		x = 0.7686767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6105 ÷ 213
    6105 ÷ 8192     		y = 0.7452392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7686767578125 × 2 - 1) × π
    0.537353515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.68814586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7452392578125 × 2 - 1) × π
    -0.490478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54088370138709
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68814586} λ = 1.68814586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54088370138709))-π/2
    2×atan(0.214191736233747)-π/2
    2×0.211003479306667-π/2
    0.422006958613333-1.57079632675     		φ = -1.14878937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68814586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.723633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14878937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.820782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6297 KachelY 6105 1.68814586 -1.14878937 96.723633 -65.820782
    Oben rechts KachelX + 1 6298 KachelY 6105 1.68891285 -1.14878937 96.767578 -65.820782
    Unten links KachelX 6297 KachelY + 1 6106 1.68814586 -1.14910341 96.723633 -65.838776
    Unten rechts KachelX + 1 6298 KachelY + 1 6106 1.68891285 -1.14910341 96.767578 -65.838776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14878937--1.14910341) × R
    0.000314039999999904 × 6371000     		dl = 2000.74883999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14878937--1.14910341) × R
    0.000314039999999904 × 6371000     		dr = 2000.74883999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68814586-1.68891285) × cos(-1.14878937) × R
    0.000766989999999801 × 0.409592160678565 × 6371000     		do = 2001.46934479189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68814586-1.68891285) × cos(-1.14910341) × R
    0.000766989999999801 × 0.409305651609581 × 6371000     		du = 2000.06932014878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14878937)-sin(-1.14910341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409592160678565-0.409305651609581)×R²
    abs(1.68891285-1.68814586)×0.000286509068984364×R²
    0.000766989999999801×0.000286509068984364×6371000²
    0.000766989999999801×0.000286509068984364×40589641000000     		ar = 4003036.95394228m²