Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6297 / 10391
↖ ↑ ↗
← S 43.436966°
W 41.638184°		 ← 1 774.14 m → S 43.436966°
W 41.616211°		 →
↑
1 773.88 m
↓
↑
1 773.88 m
↓
S 43.452919°
W 41.638184°		 ← 1 773.67 m →
3 146 694 m²		 S 43.452919°
W 41.616211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.384368896484375 y=0.634246826171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.384368896484375 × 214)
    floor (0.384368896484375 × 16384)
    floor (6297.5)     		tx = 6297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634246826171875 × 214)
    floor (0.634246826171875 × 16384)
    floor (10391.5)     		ty = 10391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6297 / 10391 ti = "14/6297/10391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6297/10391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6297 ÷ 214
    6297 ÷ 16384     		x = 0.38433837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10391 ÷ 214
    10391 ÷ 16384     		y = 0.63421630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38433837890625 × 2 - 1) × π
    -0.2313232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.72672340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63421630859375 × 2 - 1) × π
    -0.2684326171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.843305938116028
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72672340} λ = -0.72672340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.843305938116028))-π/2
    2×atan(0.430285671688136)-π/2
    2×0.406339126821312-π/2
    0.812678253642624-1.57079632675     		φ = -0.75811807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72672340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.638184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75811807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.436966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6297 KachelY 10391 -0.72672340 -0.75811807 -41.638184 -43.436966
    Oben rechts KachelX + 1 6298 KachelY 10391 -0.72633990 -0.75811807 -41.616211 -43.436966
    Unten links KachelX 6297 KachelY + 1 10392 -0.72672340 -0.75839650 -41.638184 -43.452919
    Unten rechts KachelX + 1 6298 KachelY + 1 10392 -0.72633990 -0.75839650 -41.616211 -43.452919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75811807--0.75839650) × R
    0.000278430000000052 × 6371000     		dl = 1773.87753000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75811807--0.75839650) × R
    0.000278430000000052 × 6371000     		dr = 1773.87753000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72672340--0.72633990) × cos(-0.75811807) × R
    0.000383499999999981 × 0.726131228349643 × 6371000     		do = 1774.14081840519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72672340--0.72633990) × cos(-0.75839650) × R
    0.000383499999999981 × 0.725939763951328 × 6371000     		du = 1773.67301755727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75811807)-sin(-0.75839650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726131228349643-0.725939763951328)×R²
    abs(-0.72633990--0.72672340)×0.000191464398315189×R²
    0.000383499999999981×0.000191464398315189×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191464398315189×40589641000000     		ar = 3146693.64244806m²