Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62968 / 79107
↖ ↑ ↗
← S 34.892690°
W  7.053223°		 ← 250.52 m → S 34.892690°
W  7.050476°		 →
↑
250.51 m
↓
↑
250.51 m
↓
S 34.894943°
W  7.053223°		 ← 250.51 m →
62 756 m²		 S 34.894943°
W  7.050476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 79107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480411529541016 y=0.603542327880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480411529541016 × 217)
    floor (0.480411529541016 × 131072)
    floor (62968.5)     		tx = 62968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603542327880859 × 217)
    floor (0.603542327880859 × 131072)
    floor (79107.5)     		ty = 79107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62968 / 79107 ti = "17/62968/79107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62968/79107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62968 ÷ 217
    62968 ÷ 131072     		x = 0.48040771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 79107 ÷ 217
    79107 ÷ 131072     		y = 0.603538513183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48040771484375 × 2 - 1) × π
    -0.0391845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12310196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.603538513183594 × 2 - 1) × π
    -0.207077026367188 × 3.1415926535     		Φ = -0.650551664743782
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12310196} λ = -0.12310196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.650551664743782))-π/2
    2×atan(0.521757861934868)-π/2
    2×0.480902003653621-π/2
    0.961804007307241-1.57079632675     		φ = -0.60899232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12310196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.053223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60899232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.892690°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62968 KachelY 79107 -0.12310196 -0.60899232 -7.053223 -34.892690
    Oben rechts KachelX + 1 62969 KachelY 79107 -0.12305402 -0.60899232 -7.050476 -34.892690
    Unten links KachelX 62968 KachelY + 1 79108 -0.12310196 -0.60903164 -7.053223 -34.894943
    Unten rechts KachelX + 1 62969 KachelY + 1 79108 -0.12305402 -0.60903164 -7.050476 -34.894943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60899232--0.60903164) × R
    3.93199999999538e-05 × 6371000     		dl = 250.507719999706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60899232--0.60903164) × R
    3.93199999999538e-05 × 6371000     		dr = 250.507719999706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12310196--0.12305402) × cos(-0.60899232) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.820224868686936 × 6371000     		do = 250.517787485091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12310196--0.12305402) × cos(-0.60903164) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.820202375391857 × 6371000     		du = 250.510917453797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60899232)-sin(-0.60903164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.820224868686936-0.820202375391857)×R²
    abs(-0.12305402--0.12310196)×2.24932950786405e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24932950786405e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24932950786405e-05×40589641000000     		ar = 62755.779272529m²