Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62968 / 38760
↖ ↑ ↗
← N 59.029250°
W  7.053223°		 ← 157.17 m → N 59.029250°
W  7.050476°		 →
↑
157.17 m
↓
↑
157.17 m
↓
N 59.027836°
W  7.053223°		 ← 157.18 m →
24 704 m²		 N 59.027836°
W  7.050476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480411529541016 y=0.295719146728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480411529541016 × 217)
    floor (0.480411529541016 × 131072)
    floor (62968.5)     		tx = 62968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295719146728516 × 217)
    floor (0.295719146728516 × 131072)
    floor (38760.5)     		ty = 38760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62968 / 38760 ti = "17/62968/38760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62968/38760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62968 ÷ 217
    62968 ÷ 131072     		x = 0.48040771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38760 ÷ 217
    38760 ÷ 131072     		y = 0.29571533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48040771484375 × 2 - 1) × π
    -0.0391845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12310196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29571533203125 × 2 - 1) × π
    0.4085693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.28355842422662
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12310196} λ = -0.12310196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28355842422662))-π/2
    2×atan(3.60946089355169)-π/2
    2×1.30052554134685-π/2
    2.6010510826937-1.57079632675     		φ = 1.03025476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12310196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.053223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03025476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.029250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62968 KachelY 38760 -0.12310196 1.03025476 -7.053223 59.029250
    Oben rechts KachelX + 1 62969 KachelY 38760 -0.12305402 1.03025476 -7.050476 59.029250
    Unten links KachelX 62968 KachelY + 1 38761 -0.12310196 1.03023009 -7.053223 59.027836
    Unten rechts KachelX + 1 62969 KachelY + 1 38761 -0.12305402 1.03023009 -7.050476 59.027836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03025476-1.03023009) × R
    2.46699999999489e-05 × 6371000     		dl = 157.172569999674m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03025476-1.03023009) × R
    2.46699999999489e-05 × 6371000     		dr = 157.172569999674m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12310196--0.12305402) × cos(1.03025476) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.514600422775277 × 6371000     		do = 157.17221493044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12310196--0.12305402) × cos(1.03023009) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.514621575419656 × 6371000     		du = 157.178675492502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03025476)-sin(1.03023009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514600422775277-0.514621575419656)×R²
    abs(-0.12305402--0.12310196)×2.11526443795185e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.11526443795185e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.11526443795185e-05×40589641000000     		ar = 24703.6686657936m²