Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62967 / 38743
↖ ↑ ↗
← N 59.053269°
W  7.055970°		 ← 157.06 m → N 59.053269°
W  7.053223°		 →
↑
157.05 m
↓
↑
157.05 m
↓
N 59.051856°
W  7.055970°		 ← 157.07 m →
24 666 m²		 N 59.051856°
W  7.053223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480403900146484 y=0.295589447021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480403900146484 × 217)
    floor (0.480403900146484 × 131072)
    floor (62967.5)     		tx = 62967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295589447021484 × 217)
    floor (0.295589447021484 × 131072)
    floor (38743.5)     		ty = 38743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62967 / 38743 ti = "17/62967/38743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62967/38743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62967 ÷ 217
    62967 ÷ 131072     		x = 0.480400085449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38743 ÷ 217
    38743 ÷ 131072     		y = 0.295585632324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480400085449219 × 2 - 1) × π
    -0.0391998291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12314990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295585632324219 × 2 - 1) × π
    0.408828735351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.28437335152016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12314990} λ = -0.12314990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28437335152016))-π/2
    2×atan(3.61240354060766)-π/2
    2×1.30073514906752-π/2
    2.60147029813504-1.57079632675     		φ = 1.03067397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12314990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.055970°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03067397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.053269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62967 KachelY 38743 -0.12314990 1.03067397 -7.055970 59.053269
    Oben rechts KachelX + 1 62968 KachelY 38743 -0.12310196 1.03067397 -7.053223 59.053269
    Unten links KachelX 62967 KachelY + 1 38744 -0.12314990 1.03064932 -7.055970 59.051856
    Unten rechts KachelX + 1 62968 KachelY + 1 38744 -0.12310196 1.03064932 -7.053223 59.051856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03067397-1.03064932) × R
    2.46500000000704e-05 × 6371000     		dl = 157.045150000449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03067397-1.03064932) × R
    2.46500000000704e-05 × 6371000     		dr = 157.045150000449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12314990--0.12310196) × cos(1.03067397) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.514240934289445 × 6371000     		do = 157.062417893679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12314990--0.12310196) × cos(1.03064932) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.514262075101365 × 6371000     		du = 157.068874841804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03067397)-sin(1.03064932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514240934289445-0.514262075101365)×R²
    abs(-0.12310196--0.12314990)×2.11408119201728e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.11408119201728e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.11408119201728e-05×40589641000000     		ar = 24666.3979950509m²