Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62966 / 39606
↖ ↑ ↗
← N 57.812578°
W  7.058716°		 ← 162.66 m → N 57.812578°
W  7.055970°		 →
↑
162.72 m
↓
↑
162.72 m
↓
N 57.811114°
W  7.058716°		 ← 162.67 m →
26 468 m²		 N 57.811114°
W  7.055970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480396270751953 y=0.302173614501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480396270751953 × 217)
    floor (0.480396270751953 × 131072)
    floor (62966.5)     		tx = 62966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302173614501953 × 217)
    floor (0.302173614501953 × 131072)
    floor (39606.5)     		ty = 39606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62966 / 39606 ti = "17/62966/39606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62966/39606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62966 ÷ 217
    62966 ÷ 131072     		x = 0.480392456054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39606 ÷ 217
    39606 ÷ 131072     		y = 0.302169799804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480392456054688 × 2 - 1) × π
    -0.039215087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12319783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302169799804688 × 2 - 1) × π
    0.395660400390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.24300380714806
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12319783} λ = -0.12319783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24300380714806))-π/2
    2×atan(3.46600906656405)-π/2
    2×1.28990807778368-π/2
    2.57981615556737-1.57079632675     		φ = 1.00901983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12319783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.058716°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00901983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.812578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62966 KachelY 39606 -0.12319783 1.00901983 -7.058716 57.812578
    Oben rechts KachelX + 1 62967 KachelY 39606 -0.12314990 1.00901983 -7.055970 57.812578
    Unten links KachelX 62966 KachelY + 1 39607 -0.12319783 1.00899429 -7.058716 57.811114
    Unten rechts KachelX + 1 62967 KachelY + 1 39607 -0.12314990 1.00899429 -7.055970 57.811114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00901983-1.00899429) × R
    2.55399999999906e-05 × 6371000     		dl = 162.71533999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00901983-1.00899429) × R
    2.55399999999906e-05 × 6371000     		dr = 162.71533999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12319783--0.12314990) × cos(1.00901983) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.532690504922473 × 6371000     		do = 162.66345394481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12319783--0.12314990) × cos(1.00899429) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.532712119509303 × 6371000     		du = 162.670054218922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00901983)-sin(1.00899429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532690504922473-0.532712119509303)×R²
    abs(-0.12314990--0.12319783)×2.16145868295881e-05×R²
    4.79299999999877e-05×2.16145868295881e-05×6371000²
    4.79299999999877e-05×2.16145868295881e-05×40589641000000     		ar = 26468.3761985412m²