Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62965 / 38759
↖ ↑ ↗
← N 59.030662°
W  7.061462°		 ← 157.17 m → N 59.030662°
W  7.058716°		 →
↑
157.11 m
↓
↑
157.11 m
↓
N 59.029250°
W  7.061462°		 ← 157.17 m →
24 693 m²		 N 59.029250°
W  7.058716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480388641357422 y=0.295711517333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480388641357422 × 217)
    floor (0.480388641357422 × 131072)
    floor (62965.5)     		tx = 62965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295711517333984 × 217)
    floor (0.295711517333984 × 131072)
    floor (38759.5)     		ty = 38759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62965 / 38759 ti = "17/62965/38759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62965/38759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62965 ÷ 217
    62965 ÷ 131072     		x = 0.480384826660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38759 ÷ 217
    38759 ÷ 131072     		y = 0.295707702636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480384826660156 × 2 - 1) × π
    -0.0392303466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12324577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295707702636719 × 2 - 1) × π
    0.408584594726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.28360636112624
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12324577} λ = -0.12324577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28360636112624))-π/2
    2×atan(3.60963392406347)-π/2
    2×1.30053787526786-π/2
    2.60107575053572-1.57079632675     		φ = 1.03027942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12324577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.061462°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03027942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.030662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62965 KachelY 38759 -0.12324577 1.03027942 -7.061462 59.030662
    Oben rechts KachelX + 1 62966 KachelY 38759 -0.12319783 1.03027942 -7.058716 59.030662
    Unten links KachelX 62965 KachelY + 1 38760 -0.12324577 1.03025476 -7.061462 59.029250
    Unten rechts KachelX + 1 62966 KachelY + 1 38760 -0.12319783 1.03025476 -7.058716 59.029250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03027942-1.03025476) × R
    2.46600000000097e-05 × 6371000     		dl = 157.108860000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03027942-1.03025476) × R
    2.46600000000097e-05 × 6371000     		dr = 157.108860000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12324577--0.12319783) × cos(1.03027942) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.514579278392135 × 6371000     		do = 157.165756891617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12324577--0.12319783) × cos(1.03025476) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.514600422775277 × 6371000     		du = 157.172214930485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03027942)-sin(1.03025476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514579278392135-0.514600422775277)×R²
    abs(-0.12319783--0.12324577)×2.11443831419356e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.11443831419356e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.11443831419356e-05×40589641000000     		ar = 24692.6402052409m²