Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62961 / 30309
↖ ↑ ↗
← N 69.063657°
W  7.072449°		 ← 109.14 m → N 69.063657°
W  7.069702°		 →
↑
109.14 m
↓
↑
109.14 m
↓
N 69.062675°
W  7.072449°		 ← 109.14 m →
11 911 m²		 N 69.062675°
W  7.069702°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480358123779297 y=0.231243133544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480358123779297 × 217)
    floor (0.480358123779297 × 131072)
    floor (62961.5)     		tx = 62961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231243133544922 × 217)
    floor (0.231243133544922 × 131072)
    floor (30309.5)     		ty = 30309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62961 / 30309 ti = "17/62961/30309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62961/30309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62961 ÷ 217
    62961 ÷ 131072     		x = 0.480354309082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30309 ÷ 217
    30309 ÷ 131072     		y = 0.231239318847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480354309082031 × 2 - 1) × π
    -0.0392913818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12343752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231239318847656 × 2 - 1) × π
    0.537521362304688 × 3.1415926535     		Φ = 1.68867316291572
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12343752} λ = -0.12343752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68867316291572))-π/2
    2×atan(5.41229470553371)-π/2
    2×1.38809226350741-π/2
    2.77618452701481-1.57079632675     		φ = 1.20538820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12343752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.072449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20538820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.063657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62961 KachelY 30309 -0.12343752 1.20538820 -7.072449 69.063657
    Oben rechts KachelX + 1 62962 KachelY 30309 -0.12338958 1.20538820 -7.069702 69.063657
    Unten links KachelX 62961 KachelY + 1 30310 -0.12343752 1.20537107 -7.072449 69.062675
    Unten rechts KachelX + 1 62962 KachelY + 1 30310 -0.12338958 1.20537107 -7.069702 69.062675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20538820-1.20537107) × R
    1.71300000000318e-05 × 6371000     		dl = 109.135230000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20538820-1.20537107) × R
    1.71300000000318e-05 × 6371000     		dr = 109.135230000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12343752--0.12338958) × cos(1.20538820) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.357330505674937 × 6371000     		do = 109.137934120333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12343752--0.12338958) × cos(1.20537107) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.357346504665697 × 6371000     		du = 109.142820623926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20538820)-sin(1.20537107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357330505674937-0.357346504665697)×R²
    abs(-0.12338958--0.12343752)×1.59989907602132e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.59989907602132e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.59989907602132e-05×40589641000000     		ar = 11911.0601869895m²