Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62960 / 76695
↖ ↑ ↗
← S 29.284004°
W  7.075195°		 ← 266.34 m → S 29.284004°
W  7.072449°		 →
↑
266.37 m
↓
↑
266.37 m
↓
S 29.286399°
W  7.075195°		 ← 266.33 m →
70 944 m²		 S 29.286399°
W  7.072449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480350494384766 y=0.585140228271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480350494384766 × 217)
    floor (0.480350494384766 × 131072)
    floor (62960.5)     		tx = 62960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585140228271484 × 217)
    floor (0.585140228271484 × 131072)
    floor (76695.5)     		ty = 76695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62960 / 76695 ti = "17/62960/76695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62960/76695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62960 ÷ 217
    62960 ÷ 131072     		x = 0.4803466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76695 ÷ 217
    76695 ÷ 131072     		y = 0.585136413574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4803466796875 × 2 - 1) × π
    -0.039306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12348545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585136413574219 × 2 - 1) × π
    -0.170272827148438 × 3.1415926535     		Φ = -0.534927862860207
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12348545} λ = -0.12348545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.534927862860207))-π/2
    2×atan(0.58571154017613)-π/2
    2×0.529847025214603-π/2
    1.05969405042921-1.57079632675     		φ = -0.51110228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12348545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.075195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51110228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.284004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62960 KachelY 76695 -0.12348545 -0.51110228 -7.075195 -29.284004
    Oben rechts KachelX + 1 62961 KachelY 76695 -0.12343752 -0.51110228 -7.072449 -29.284004
    Unten links KachelX 62960 KachelY + 1 76696 -0.12348545 -0.51114409 -7.075195 -29.286399
    Unten rechts KachelX + 1 62961 KachelY + 1 76696 -0.12343752 -0.51114409 -7.072449 -29.286399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51110228--0.51114409) × R
    4.1810000000031e-05 × 6371000     		dl = 266.371510000197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51110228--0.51114409) × R
    4.1810000000031e-05 × 6371000     		dr = 266.371510000197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12348545--0.12343752) × cos(-0.51110228) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.872205869537541 × 6371000     		do = 266.338554899907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12348545--0.12343752) × cos(-0.51114409) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.872185417875333 × 6371000     		du = 266.332309738819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51110228)-sin(-0.51114409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872205869537541-0.872185417875333)×R²
    abs(-0.12343752--0.12348545)×2.04516622080986e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.04516622080986e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.04516622080986e-05×40589641000000     		ar = 70944.1712837091m²