Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6296 / 6198
↖ ↑ ↗
← S 67.441229°
E 96.679688°		 ← 1 874.61 m → S 67.441229°
E 96.723633°		 →
↑
1 873.97 m
↓
↑
1 873.97 m
↓
S 67.458082°
E 96.679688°		 ← 1 873.28 m →
3 511 711 m²		 S 67.458082°
E 96.723633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76861572265625 y=0.75665283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76861572265625 × 213)
    floor (0.76861572265625 × 8192)
    floor (6296.5)     		tx = 6296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75665283203125 × 213)
    floor (0.75665283203125 × 8192)
    floor (6198.5)     		ty = 6198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6296 / 6198 ti = "13/6296/6198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6296/6198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6296 ÷ 213
    6296 ÷ 8192     		x = 0.7685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6198 ÷ 213
    6198 ÷ 8192     		y = 0.756591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7685546875 × 2 - 1) × π
    0.537109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68737887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756591796875 × 2 - 1) × π
    -0.51318359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61221380802173
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68737887} λ = 1.68737887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61221380802173))-π/2
    2×atan(0.199445590729603)-π/2
    2×0.196862417221312-π/2
    0.393724834442623-1.57079632675     		φ = -1.17707149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68737887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.679688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17707149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.441229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6296 KachelY 6198 1.68737887 -1.17707149 96.679688 -67.441229
    Oben rechts KachelX + 1 6297 KachelY 6198 1.68814586 -1.17707149 96.723633 -67.441229
    Unten links KachelX 6296 KachelY + 1 6199 1.68737887 -1.17736563 96.679688 -67.458082
    Unten rechts KachelX + 1 6297 KachelY + 1 6199 1.68814586 -1.17736563 96.723633 -67.458082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17707149--1.17736563) × R
    0.000294139999999832 × 6371000     		dl = 1873.96593999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17707149--1.17736563) × R
    0.000294139999999832 × 6371000     		dr = 1873.96593999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68737887-1.68814586) × cos(-1.17707149) × R
    0.000766990000000023 × 0.383630905012957 × 6371000     		do = 1874.6098431825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68737887-1.68814586) × cos(-1.17736563) × R
    0.000766990000000023 × 0.383359254100134 × 6371000     		du = 1873.28242281977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17707149)-sin(-1.17736563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383630905012957-0.383359254100134)×R²
    abs(1.68814586-1.68737887)×0.000271650912823496×R²
    0.000766990000000023×0.000271650912823496×6371000²
    0.000766990000000023×0.000271650912823496×40589641000000     		ar = 3511711.25195588m²