Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62959 / 39631
↖ ↑ ↗
← N 57.775982°
W  7.077942°		 ← 162.86 m → N 57.775982°
W  7.075195°		 →
↑
162.91 m
↓
↑
162.91 m
↓
N 57.774517°
W  7.077942°		 ← 162.87 m →
26 532 m²		 N 57.774517°
W  7.075195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480342864990234 y=0.302364349365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480342864990234 × 217)
    floor (0.480342864990234 × 131072)
    floor (62959.5)     		tx = 62959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302364349365234 × 217)
    floor (0.302364349365234 × 131072)
    floor (39631.5)     		ty = 39631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62959 / 39631 ti = "17/62959/39631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62959/39631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62959 ÷ 217
    62959 ÷ 131072     		x = 0.480339050292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39631 ÷ 217
    39631 ÷ 131072     		y = 0.302360534667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480339050292969 × 2 - 1) × π
    -0.0393218994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12353339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302360534667969 × 2 - 1) × π
    0.395278930664062 × 3.1415926535     		Φ = 1.24180538465755
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12353339} λ = -0.12353339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24180538465755))-π/2
    2×atan(3.46185781132206)-π/2
    2×1.28958872173997-π/2
    2.57917744347995-1.57079632675     		φ = 1.00838112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12353339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.077942°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00838112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.775982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62959 KachelY 39631 -0.12353339 1.00838112 -7.077942 57.775982
    Oben rechts KachelX + 1 62960 KachelY 39631 -0.12348545 1.00838112 -7.075195 57.775982
    Unten links KachelX 62959 KachelY + 1 39632 -0.12353339 1.00835555 -7.077942 57.774517
    Unten rechts KachelX + 1 62960 KachelY + 1 39632 -0.12348545 1.00835555 -7.075195 57.774517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00838112-1.00835555) × R
    2.55699999998082e-05 × 6371000     		dl = 162.906469998778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00838112-1.00835555) × R
    2.55699999998082e-05 × 6371000     		dr = 162.906469998778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12353339--0.12348545) × cos(1.00838112) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.533230942969348 × 6371000     		do = 162.862455347346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12353339--0.12348545) × cos(1.00835555) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.53325257424068 × 6371000     		du = 162.869062094399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00838112)-sin(1.00835555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533230942969348-0.53325257424068)×R²
    abs(-0.12348545--0.12353339)×2.16312713319233e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.16312713319233e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.16312713319233e-05×40589641000000     		ar = 26531.8858381913m²