Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62959 / 27163
↖ ↑ ↗
← N 71.942415°
W  7.077942°		 ← 94.67 m → N 71.942415°
W  7.075195°		 →
↑
94.67 m
↓
↑
94.67 m
↓
N 71.941563°
W  7.077942°		 ← 94.68 m →
8 963 m²		 N 71.941563°
W  7.075195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480342864990234 y=0.207241058349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480342864990234 × 217)
    floor (0.480342864990234 × 131072)
    floor (62959.5)     		tx = 62959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207241058349609 × 217)
    floor (0.207241058349609 × 131072)
    floor (27163.5)     		ty = 27163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62959 / 27163 ti = "17/62959/27163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62959/27163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62959 ÷ 217
    62959 ÷ 131072     		x = 0.480339050292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27163 ÷ 217
    27163 ÷ 131072     		y = 0.207237243652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480339050292969 × 2 - 1) × π
    -0.0393218994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12353339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207237243652344 × 2 - 1) × π
    0.585525512695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.83948264912041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12353339} λ = -0.12353339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83948264912041))-π/2
    2×atan(6.29328158391399)-π/2
    2×1.41321416992367-π/2
    2.82642833984735-1.57079632675     		φ = 1.25563201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12353339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.077942°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25563201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.942415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62959 KachelY 27163 -0.12353339 1.25563201 -7.077942 71.942415
    Oben rechts KachelX + 1 62960 KachelY 27163 -0.12348545 1.25563201 -7.075195 71.942415
    Unten links KachelX 62959 KachelY + 1 27164 -0.12353339 1.25561715 -7.077942 71.941563
    Unten rechts KachelX + 1 62960 KachelY + 1 27164 -0.12348545 1.25561715 -7.075195 71.941563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25563201-1.25561715) × R
    1.48600000000609e-05 × 6371000     		dl = 94.6730600003882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25563201-1.25561715) × R
    1.48600000000609e-05 × 6371000     		dr = 94.6730600003882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12353339--0.12348545) × cos(1.25563201) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.309972698857958 × 6371000     		do = 94.6736409285093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12353339--0.12348545) × cos(1.25561715) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.30998682690124 × 6371000     		du = 94.6779559965834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25563201)-sin(1.25561715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309972698857958-0.30998682690124)×R²
    abs(-0.12348545--0.12353339)×1.41280432818247e-05×R²
    4.79400000000102e-05×1.41280432818247e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×1.41280432818247e-05×40589641000000     		ar = 8963.24754851751m²