Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62957 / 29263
↖ ↑ ↗
← N 70.066521°
W  7.083435°		 ← 104.11 m → N 70.066521°
W  7.080689°		 →
↑
104.17 m
↓
↑
104.17 m
↓
N 70.065584°
W  7.083435°		 ← 104.11 m →
10 845 m²		 N 70.065584°
W  7.080689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480327606201172 y=0.223262786865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480327606201172 × 217)
    floor (0.480327606201172 × 131072)
    floor (62957.5)     		tx = 62957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223262786865234 × 217)
    floor (0.223262786865234 × 131072)
    floor (29263.5)     		ty = 29263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62957 / 29263 ti = "17/62957/29263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62957/29263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62957 ÷ 217
    62957 ÷ 131072     		x = 0.480323791503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29263 ÷ 217
    29263 ÷ 131072     		y = 0.223258972167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480323791503906 × 2 - 1) × π
    -0.0393524169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12362926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223258972167969 × 2 - 1) × π
    0.553482055664062 × 3.1415926535     		Φ = 1.7388151599183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12362926} λ = -0.12362926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7388151599183))-π/2
    2×atan(5.69059697934306)-π/2
    2×1.39684390740002-π/2
    2.79368781480004-1.57079632675     		φ = 1.22289149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12362926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.083435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22289149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.066521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62957 KachelY 29263 -0.12362926 1.22289149 -7.083435 70.066521
    Oben rechts KachelX + 1 62958 KachelY 29263 -0.12358133 1.22289149 -7.080689 70.066521
    Unten links KachelX 62957 KachelY + 1 29264 -0.12362926 1.22287514 -7.083435 70.065584
    Unten rechts KachelX + 1 62958 KachelY + 1 29264 -0.12358133 1.22287514 -7.080689 70.065584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22289149-1.22287514) × R
    1.63500000001093e-05 × 6371000     		dl = 104.165850000697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22289149-1.22287514) × R
    1.63500000001093e-05 × 6371000     		dr = 104.165850000697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12362926--0.12358133) × cos(1.22289149) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.340928917141046 × 6371000     		do = 104.106746223895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12362926--0.12358133) × cos(1.22287514) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.340944287551892 × 6371000     		du = 104.111439763753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22289149)-sin(1.22287514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340928917141046-0.340944287551892)×R²
    abs(-0.12358133--0.12362926)×1.53704108459829e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.53704108459829e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.53704108459829e-05×40589641000000     		ar = 10844.6121646891m²