Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62951 / 79103
↖ ↑ ↗
← S 34.883678°
W  7.099915°		 ← 250.55 m → S 34.883678°
W  7.097168°		 →
↑
250.57 m
↓
↑
250.57 m
↓
S 34.885931°
W  7.099915°		 ← 250.54 m →
62 779 m²		 S 34.885931°
W  7.097168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 79103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480281829833984 y=0.603511810302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480281829833984 × 217)
    floor (0.480281829833984 × 131072)
    floor (62951.5)     		tx = 62951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603511810302734 × 217)
    floor (0.603511810302734 × 131072)
    floor (79103.5)     		ty = 79103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62951 / 79103 ti = "17/62951/79103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62951/79103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62951 ÷ 217
    62951 ÷ 131072     		x = 0.480278015136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 79103 ÷ 217
    79103 ÷ 131072     		y = 0.603507995605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480278015136719 × 2 - 1) × π
    -0.0394439697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12391689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.603507995605469 × 2 - 1) × π
    -0.207015991210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.650359917145302
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12391689} λ = -0.12391689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.650359917145302))-π/2
    2×atan(0.521857917344268)-π/2
    2×0.480980646040683-π/2
    0.961961292081365-1.57079632675     		φ = -0.60883503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12391689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.099915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60883503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.883678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62951 KachelY 79103 -0.12391689 -0.60883503 -7.099915 -34.883678
    Oben rechts KachelX + 1 62952 KachelY 79103 -0.12386895 -0.60883503 -7.097168 -34.883678
    Unten links KachelX 62951 KachelY + 1 79104 -0.12391689 -0.60887436 -7.099915 -34.885931
    Unten rechts KachelX + 1 62952 KachelY + 1 79104 -0.12386895 -0.60887436 -7.097168 -34.885931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60883503--0.60887436) × R
    3.93299999998931e-05 × 6371000     		dl = 250.571429999319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60883503--0.60887436) × R
    3.93299999998931e-05 × 6371000     		dr = 250.571429999319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12391689--0.12386895) × cos(-0.60883503) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.820314834904837 × 6371000     		do = 250.545265483768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12391689--0.12386895) × cos(-0.60887436) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.82029234096332 × 6371000     		du = 250.538395255035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60883503)-sin(-0.60887436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.820314834904837-0.82029234096332)×R²
    abs(-0.12386895--0.12391689)×2.24939415166547e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24939415166547e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24939415166547e-05×40589641000000     		ar = 62778.6247184946m²