Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62949 / 30327
↖ ↑ ↗
← N 69.045984°
W  7.105408°		 ← 109.23 m → N 69.045984°
W  7.102661°		 →
↑
109.26 m
↓
↑
109.26 m
↓
N 69.045001°
W  7.105408°		 ← 109.23 m →
11 935 m²		 N 69.045001°
W  7.102661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480266571044922 y=0.231380462646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480266571044922 × 217)
    floor (0.480266571044922 × 131072)
    floor (62949.5)     		tx = 62949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231380462646484 × 217)
    floor (0.231380462646484 × 131072)
    floor (30327.5)     		ty = 30327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62949 / 30327 ti = "17/62949/30327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62949/30327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62949 ÷ 217
    62949 ÷ 131072     		x = 0.480262756347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30327 ÷ 217
    30327 ÷ 131072     		y = 0.231376647949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480262756347656 × 2 - 1) × π
    -0.0394744873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12401276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231376647949219 × 2 - 1) × π
    0.537246704101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.68781029872256
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12401276} λ = -0.12401276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68781029872256))-π/2
    2×atan(5.40762664447047)-π/2
    2×1.38793803752398-π/2
    2.77587607504797-1.57079632675     		φ = 1.20507975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12401276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.105408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20507975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.045984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62949 KachelY 30327 -0.12401276 1.20507975 -7.105408 69.045984
    Oben rechts KachelX + 1 62950 KachelY 30327 -0.12396482 1.20507975 -7.102661 69.045984
    Unten links KachelX 62949 KachelY + 1 30328 -0.12401276 1.20506260 -7.105408 69.045001
    Unten rechts KachelX + 1 62950 KachelY + 1 30328 -0.12396482 1.20506260 -7.102661 69.045001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20507975-1.20506260) × R
    1.71499999999103e-05 × 6371000     		dl = 109.262649999428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20507975-1.20506260) × R
    1.71499999999103e-05 × 6371000     		dr = 109.262649999428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12401276--0.12396482) × cos(1.20507975) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.35761857418687 × 6371000     		do = 109.225917658761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12401276--0.12396482) × cos(1.20506260) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.357634589966014 × 6371000     		du = 109.230809289958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20507975)-sin(1.20506260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35761857418687-0.357634589966014)×R²
    abs(-0.12396482--0.12401276)×1.6015779144507e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.6015779144507e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.6015779144507e-05×40589641000000     		ar = 11934.5804485965m²