Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62949 / 29278
↖ ↑ ↗
← N 70.052471°
W  7.105408°		 ← 104.20 m → N 70.052471°
W  7.102661°		 →
↑
104.23 m
↓
↑
104.23 m
↓
N 70.051533°
W  7.105408°		 ← 104.20 m →
10 861 m²		 N 70.051533°
W  7.102661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480266571044922 y=0.223377227783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480266571044922 × 217)
    floor (0.480266571044922 × 131072)
    floor (62949.5)     		tx = 62949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223377227783203 × 217)
    floor (0.223377227783203 × 131072)
    floor (29278.5)     		ty = 29278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62949 / 29278 ti = "17/62949/29278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62949/29278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62949 ÷ 217
    62949 ÷ 131072     		x = 0.480262756347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29278 ÷ 217
    29278 ÷ 131072     		y = 0.223373413085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480262756347656 × 2 - 1) × π
    -0.0394744873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12401276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223373413085938 × 2 - 1) × π
    0.553253173828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.738096106424
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12401276} λ = -0.12401276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.738096106424))-π/2
    2×atan(5.6865066064751)-π/2
    2×1.39672129289853-π/2
    2.79344258579705-1.57079632675     		φ = 1.22264626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12401276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.105408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22264626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.052471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62949 KachelY 29278 -0.12401276 1.22264626 -7.105408 70.052471
    Oben rechts KachelX + 1 62950 KachelY 29278 -0.12396482 1.22264626 -7.102661 70.052471
    Unten links KachelX 62949 KachelY + 1 29279 -0.12401276 1.22262990 -7.105408 70.051533
    Unten rechts KachelX + 1 62950 KachelY + 1 29279 -0.12396482 1.22262990 -7.102661 70.051533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22264626-1.22262990) × R
    1.63600000000486e-05 × 6371000     		dl = 104.229560000309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22264626-1.22262990) × R
    1.63600000000486e-05 × 6371000     		dr = 104.229560000309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12401276--0.12396482) × cos(1.22264626) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.341159444931838 × 6371000     		do = 104.198875926288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12401276--0.12396482) × cos(1.22262990) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.341174823375231 × 6371000     		du = 104.203572898741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22264626)-sin(1.22262990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341159444931838-0.341174823375231)×R²
    abs(-0.12396482--0.12401276)×1.53784433935544e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.53784433935544e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.53784433935544e-05×40589641000000     		ar = 10860.8477721562m²