Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62948 / 29277
↖ ↑ ↗
← N 70.053407°
W  7.108155°		 ← 104.19 m → N 70.053407°
W  7.105408°		 →
↑
104.17 m
↓
↑
104.17 m
↓
N 70.052471°
W  7.108155°		 ← 104.20 m →
10 854 m²		 N 70.052471°
W  7.105408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480258941650391 y=0.223369598388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480258941650391 × 217)
    floor (0.480258941650391 × 131072)
    floor (62948.5)     		tx = 62948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223369598388672 × 217)
    floor (0.223369598388672 × 131072)
    floor (29277.5)     		ty = 29277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62948 / 29277 ti = "17/62948/29277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62948/29277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62948 ÷ 217
    62948 ÷ 131072     		x = 0.480255126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29277 ÷ 217
    29277 ÷ 131072     		y = 0.223365783691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480255126953125 × 2 - 1) × π
    -0.03948974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12406070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223365783691406 × 2 - 1) × π
    0.553268432617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.73814404332362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12406070} λ = -0.12406070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73814404332362))-π/2
    2×atan(5.68677920650523)-π/2
    2×1.39672946977735-π/2
    2.7934589395547-1.57079632675     		φ = 1.22266261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12406070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.108155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22266261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.053407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62948 KachelY 29277 -0.12406070 1.22266261 -7.108155 70.053407
    Oben rechts KachelX + 1 62949 KachelY 29277 -0.12401276 1.22266261 -7.105408 70.053407
    Unten links KachelX 62948 KachelY + 1 29278 -0.12406070 1.22264626 -7.108155 70.052471
    Unten rechts KachelX + 1 62949 KachelY + 1 29278 -0.12401276 1.22264626 -7.105408 70.052471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22266261-1.22264626) × R
    1.63499999998873e-05 × 6371000     		dl = 104.165849999282m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22266261-1.22264626) × R
    1.63499999998873e-05 × 6371000     		dr = 104.165849999282m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12406070--0.12401276) × cos(1.22266261) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.341144075797243 × 6371000     		do = 104.194181796981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12406070--0.12401276) × cos(1.22264626) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.341159444931838 × 6371000     		du = 104.198875926288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22266261)-sin(1.22264626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341144075797243-0.341159444931838)×R²
    abs(-0.12401276--0.12406070)×1.53691345943785e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.53691345943785e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.53691345943785e-05×40589641000000     		ar = 10853.71999615m²