Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62946 / 79146
↖ ↑ ↗
← S 34.980502°
W  7.113647°		 ← 250.25 m → S 34.980502°
W  7.110901°		 →
↑
250.25 m
↓
↑
250.25 m
↓
S 34.982753°
W  7.113647°		 ← 250.24 m →
62 625 m²		 S 34.982753°
W  7.110901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 79146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480243682861328 y=0.603839874267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480243682861328 × 217)
    floor (0.480243682861328 × 131072)
    floor (62946.5)     		tx = 62946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603839874267578 × 217)
    floor (0.603839874267578 × 131072)
    floor (79146.5)     		ty = 79146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62946 / 79146 ti = "17/62946/79146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62946/79146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62946 ÷ 217
    62946 ÷ 131072     		x = 0.480239868164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 79146 ÷ 217
    79146 ÷ 131072     		y = 0.603836059570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480239868164062 × 2 - 1) × π
    -0.039520263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12415657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.603836059570312 × 2 - 1) × π
    -0.207672119140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.652421203828964
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12415657} λ = -0.12415657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.652421203828964))-π/2
    2×atan(0.520783326468899)-π/2
    2×0.480135692568312-π/2
    0.960271385136625-1.57079632675     		φ = -0.61052494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12415657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.113647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61052494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.980502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62946 KachelY 79146 -0.12415657 -0.61052494 -7.113647 -34.980502
    Oben rechts KachelX + 1 62947 KachelY 79146 -0.12410863 -0.61052494 -7.110901 -34.980502
    Unten links KachelX 62946 KachelY + 1 79147 -0.12415657 -0.61056422 -7.113647 -34.982753
    Unten rechts KachelX + 1 62947 KachelY + 1 79147 -0.12410863 -0.61056422 -7.110901 -34.982753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61052494--0.61056422) × R
    3.92799999999749e-05 × 6371000     		dl = 250.25287999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61052494--0.61056422) × R
    3.92799999999749e-05 × 6371000     		dr = 250.25287999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12415657--0.12410863) × cos(-0.61052494) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.819347183882863 × 6371000     		do = 250.24971995432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12415657--0.12410863) × cos(-0.61056422) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.819324664119195 × 6371000     		du = 250.242841838837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61052494)-sin(-0.61056422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.819347183882863-0.819324664119195)×R²
    abs(-0.12410863--0.12415657)×2.25197636682939e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.25197636682939e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.25197636682939e-05×40589641000000     		ar = 62624.8525115493m²