Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62945 / 29475
↖ ↑ ↗
← N 69.867056°
W  7.116394°		 ← 105.13 m → N 69.867056°
W  7.113647°		 →
↑
105.12 m
↓
↑
105.12 m
↓
N 69.866110°
W  7.116394°		 ← 105.13 m →
11 051 m²		 N 69.866110°
W  7.113647°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480236053466797 y=0.224880218505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480236053466797 × 217)
    floor (0.480236053466797 × 131072)
    floor (62945.5)     		tx = 62945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224880218505859 × 217)
    floor (0.224880218505859 × 131072)
    floor (29475.5)     		ty = 29475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62945 / 29475 ti = "17/62945/29475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62945/29475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62945 ÷ 217
    62945 ÷ 131072     		x = 0.480232238769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29475 ÷ 217
    29475 ÷ 131072     		y = 0.224876403808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480232238769531 × 2 - 1) × π
    -0.0395355224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12420451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224876403808594 × 2 - 1) × π
    0.550247192382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.72865253719885
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12420451} λ = -0.12420451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72865253719885))-π/2
    2×atan(5.63305845555685)-π/2
    2×1.39510324318844-π/2
    2.79020648637688-1.57079632675     		φ = 1.21941016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12420451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.116394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21941016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.867056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62945 KachelY 29475 -0.12420451 1.21941016 -7.116394 69.867056
    Oben rechts KachelX + 1 62946 KachelY 29475 -0.12415657 1.21941016 -7.113647 69.867056
    Unten links KachelX 62945 KachelY + 1 29476 -0.12420451 1.21939366 -7.116394 69.866110
    Unten rechts KachelX + 1 62946 KachelY + 1 29476 -0.12415657 1.21939366 -7.113647 69.866110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21941016-1.21939366) × R
    1.65000000000859e-05 × 6371000     		dl = 105.121500000547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21941016-1.21939366) × R
    1.65000000000859e-05 × 6371000     		dr = 105.121500000547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12420451--0.12415657) × cos(1.21941016) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.344199604869155 × 6371000     		do = 105.127419024891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12420451--0.12415657) × cos(1.21939366) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.3442150966145 × 6371000     		du = 105.132150602677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21941016)-sin(1.21939366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344199604869155-0.3442150966145)×R²
    abs(-0.12415657--0.12420451)×1.54917453450976e-05×R²
    4.79400000000102e-05×1.54917453450976e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×1.54917453450976e-05×40589641000000     		ar = 11051.4006747798m²