Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62940 / 76142
↖ ↑ ↗
← S 27.950739°
W  7.130127°		 ← 269.80 m → S 27.950739°
W  7.127380°		 →
↑
269.75 m
↓
↑
269.75 m
↓
S 27.953165°
W  7.130127°		 ← 269.79 m →
72 777 m²		 S 27.953165°
W  7.127380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480197906494141 y=0.580921173095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480197906494141 × 217)
    floor (0.480197906494141 × 131072)
    floor (62940.5)     		tx = 62940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580921173095703 × 217)
    floor (0.580921173095703 × 131072)
    floor (76142.5)     		ty = 76142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62940 / 76142 ti = "17/62940/76142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62940/76142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62940 ÷ 217
    62940 ÷ 131072     		x = 0.480194091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76142 ÷ 217
    76142 ÷ 131072     		y = 0.580917358398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480194091796875 × 2 - 1) × π
    -0.03961181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12444419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580917358398438 × 2 - 1) × π
    -0.161834716796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.508418757370316
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12444419} λ = -0.12444419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.508418757370316))-π/2
    2×atan(0.601445859134297)-π/2
    2×0.541481953870084-π/2
    1.08296390774017-1.57079632675     		φ = -0.48783242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12444419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.130127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48783242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.950739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62940 KachelY 76142 -0.12444419 -0.48783242 -7.130127 -27.950739
    Oben rechts KachelX + 1 62941 KachelY 76142 -0.12439625 -0.48783242 -7.127380 -27.950739
    Unten links KachelX 62940 KachelY + 1 76143 -0.12444419 -0.48787476 -7.130127 -27.953165
    Unten rechts KachelX + 1 62941 KachelY + 1 76143 -0.12439625 -0.48787476 -7.127380 -27.953165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48783242--0.48787476) × R
    4.23400000000296e-05 × 6371000     		dl = 269.748140000188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48783242--0.48787476) × R
    4.23400000000296e-05 × 6371000     		dr = 269.748140000188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12444419--0.12439625) × cos(-0.48783242) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.883350904297094 × 6371000     		do = 269.798103624588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12444419--0.12439625) × cos(-0.48787476) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.883331058228357 × 6371000     		du = 269.792042124358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48783242)-sin(-0.48787476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883350904297094-0.883331058228357)×R²
    abs(-0.12439625--0.12444419)×1.98460687369506e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.98460687369506e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.98460687369506e-05×40589641000000     		ar = 72776.7191000166m²