Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62938 / 76126
↖ ↑ ↗
← S 27.911913°
W  7.135620°		 ← 269.90 m → S 27.911913°
W  7.132874°		 →
↑
269.88 m
↓
↑
269.88 m
↓
S 27.914340°
W  7.135620°		 ← 269.89 m →
72 837 m²		 S 27.914340°
W  7.132874°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480182647705078 y=0.580799102783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480182647705078 × 217)
    floor (0.480182647705078 × 131072)
    floor (62938.5)     		tx = 62938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580799102783203 × 217)
    floor (0.580799102783203 × 131072)
    floor (76126.5)     		ty = 76126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62938 / 76126 ti = "17/62938/76126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62938/76126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62938 ÷ 217
    62938 ÷ 131072     		x = 0.480178833007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76126 ÷ 217
    76126 ÷ 131072     		y = 0.580795288085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480178833007812 × 2 - 1) × π
    -0.039642333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12454007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580795288085938 × 2 - 1) × π
    -0.161590576171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.507651766976395
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12454007} λ = -0.12454007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.507651766976395))-π/2
    2×atan(0.601907339283515)-π/2
    2×0.541820775572538-π/2
    1.08364155114508-1.57079632675     		φ = -0.48715478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12454007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.135620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48715478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.911913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62938 KachelY 76126 -0.12454007 -0.48715478 -7.135620 -27.911913
    Oben rechts KachelX + 1 62939 KachelY 76126 -0.12449213 -0.48715478 -7.132874 -27.911913
    Unten links KachelX 62938 KachelY + 1 76127 -0.12454007 -0.48719714 -7.135620 -27.914340
    Unten rechts KachelX + 1 62939 KachelY + 1 76127 -0.12449213 -0.48719714 -7.132874 -27.914340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48715478--0.48719714) × R
    4.23599999999635e-05 × 6371000     		dl = 269.875559999768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48715478--0.48719714) × R
    4.23599999999635e-05 × 6371000     		dr = 269.875559999768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12454007--0.12449213) × cos(-0.48715478) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.88366831963105 × 6371000     		do = 269.895050437849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12454007--0.12449213) × cos(-0.48719714) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.88364848954803 × 6371000     		du = 269.888993820069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48715478)-sin(-0.48719714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88366831963105-0.88364848954803)×R²
    abs(-0.12449213--0.12454007)×1.98300830205334e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.98300830205334e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.98300830205334e-05×40589641000000     		ar = 72837.2606224982m²