Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62938 / 39613
↖ ↑ ↗
← N 57.802334°
W  7.135620°		 ← 162.74 m → N 57.802334°
W  7.132874°		 →
↑
162.72 m
↓
↑
162.72 m
↓
N 57.800871°
W  7.135620°		 ← 162.75 m →
26 481 m²		 N 57.800871°
W  7.132874°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480182647705078 y=0.302227020263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480182647705078 × 217)
    floor (0.480182647705078 × 131072)
    floor (62938.5)     		tx = 62938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302227020263672 × 217)
    floor (0.302227020263672 × 131072)
    floor (39613.5)     		ty = 39613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62938 / 39613 ti = "17/62938/39613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62938/39613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62938 ÷ 217
    62938 ÷ 131072     		x = 0.480178833007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39613 ÷ 217
    39613 ÷ 131072     		y = 0.302223205566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480178833007812 × 2 - 1) × π
    -0.039642333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12454007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302223205566406 × 2 - 1) × π
    0.395553588867188 × 3.1415926535     		Φ = 1.24266824885072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12454007} λ = -0.12454007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24266824885072))-π/2
    2×atan(3.4648462135765)-π/2
    2×1.28981869073281-π/2
    2.57963738146562-1.57079632675     		φ = 1.00884105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12454007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.135620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00884105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.802334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62938 KachelY 39613 -0.12454007 1.00884105 -7.135620 57.802334
    Oben rechts KachelX + 1 62939 KachelY 39613 -0.12449213 1.00884105 -7.132874 57.802334
    Unten links KachelX 62938 KachelY + 1 39614 -0.12454007 1.00881551 -7.135620 57.800871
    Unten rechts KachelX + 1 62939 KachelY + 1 39614 -0.12449213 1.00881551 -7.132874 57.800871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00884105-1.00881551) × R
    2.55399999999906e-05 × 6371000     		dl = 162.71533999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00884105-1.00881551) × R
    2.55399999999906e-05 × 6371000     		dr = 162.71533999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12454007--0.12449213) × cos(1.00884105) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.53284179973263 × 6371000     		do = 162.743600986258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12454007--0.12449213) × cos(1.00881551) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.532863411886778 × 6371000     		du = 162.750201894432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00884105)-sin(1.00881551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.53284179973263-0.532863411886778)×R²
    abs(-0.12449213--0.12454007)×2.16121541479763e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.16121541479763e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.16121541479763e-05×40589641000000     		ar = 26481.4174030815m²